Encontre uma equação para o plano tangente ao gráfico z=9-x^{2}-y^{2} em (1,2,4).

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre uma equação para o plano tangente ao gráfico z=9-x^{2}-y^{2} no ponto (1,2,4).”
Informações dadas:
  • A superfície é dada explicitamente por z=f(x,y) com f(x,y)=9-x^{2}-y^{2}.
  • O ponto onde queremos o plano tangente é (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,4).
  • Conferimos que o ponto está no gráfico: f(1,2)=9-1-4=4, então (1,2,4) pertence à superfície.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): quando uma superfície é dada por z=f(x,y), o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é a melhor aproximação linear de f perto desse ponto. A fórmula padrão é
z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}),
onde:
  • f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (o “declive” da superfície ao mover só x);
  • f_{y} é a derivada parcial de f em relação a y (o “declive” da superfície ao mover só y);
  • x_{0},y_{0},z_{0} são as coordenadas do ponto de tangência.
    Essa fórmula vem da aproximação linear (expansão de primeira ordem) de f em torno do ponto.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=9-x^{2}-y^{2}. Usamos a regra do poder: a derivada de x^{2} é 2x, de y^{2} é 2y, e a constante some. Assim,
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(9-x^{2}-y^{2})=-2x,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(9-x^{2}-y^{2})=-2y.
Expliquei porque: ao derivar em relação a x tratamos y como constante, por isso o termo -y^{2} desaparece na derivada em x.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (1,2):
f_{x}(1,2)=-2\cdot 1=-2,
f_{y}(1,2)=-2\cdot 2=-4.
Interpretação rápida: se eu variar x mantendo y fixo perto de (1,2), z muda com inclinação -2; se variar y mantendo x fixo, z muda com inclinação -4.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula do plano tangente. Usando x_{0}=1, y_{0}=2, z_{0}=4, f_{x}(1,2)=-2, f_{y}(1,2)=-4:
z-4 = -2\,(x-1) -4\,(y-2).
Agora simplificamos passo a passo:
z-4 = -2x +2 -4y +8 = -2x -4y +10.
Somando 4 em ambos os lados:
z = -2x -4y +10 +4 = -2x -4y +14.
Verificação rápida: plugando (x,y)=(1,2) obtemos z=-2-8+14=4, que é o z_{0} esperado — bom sinal.

Passo 6

Forma alternativa (mais “padrão” em equações de planos): podemos escrever tudo do lado esquerdo:
2x+4y+z-14=0.
Dica para a prova: memorize a fórmula do passo 2; calcule as parciais rápido; confirme que o ponto está na superfície antes de aplicar; e faça a álgebra com calma.

Resposta

z=-2x-4y+14

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