Encontre uma equação para o plano tangente ao gráfico
em (1,2,4).
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre uma equação para o plano tangente ao gráfico
no ponto
.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A superfície é dada explicitamente por
com . - O ponto onde queremos o plano tangente é
. - Conferimos que o ponto está no gráfico:
, então pertence à superfície.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): quando uma superfície é dada por
, o plano tangente em
é a melhor aproximação linear de
perto desse ponto. A fórmula padrão é
onde:
-
é a derivada parcial de em relação a (o “declive” da superfície ao mover só ); -
é a derivada parcial de em relação a (o “declive” da superfície ao mover só ); -
são as coordenadas do ponto de tangência.
Essa fórmula vem da aproximação linear (expansão de primeira ordem) deem torno do ponto.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Usamos a regra do poder: a derivada de
é
, de
é
, e a constante some. Assim,
Expliquei porque: ao derivar em relação a
tratamos
como constante, por isso o termo
desaparece na derivada em
.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Interpretação rápida: se eu variar
mantendo
fixo perto de
,
muda com inclinação
; se variar
mantendo
fixo,
muda com inclinação
.
Passo 5
Substituir os valores na fórmula do plano tangente. Usando
,
,
,
,
:
Agora simplificamos passo a passo:
Somando
em ambos os lados:
Verificação rápida: plugando
obtemos
, que é o
esperado — bom sinal.
Passo 6
Forma alternativa (mais “padrão” em equações de planos): podemos escrever tudo do lado esquerdo:
Dica para a prova: memorize a fórmula do passo 2; calcule as parciais rápido; confirme que o ponto está na superfície antes de aplicar; e faça a álgebra com calma.