Questão 12.

Determine \mathrm{f}^{\prime}(2), onde \mathrm{f}(\mathrm{t})=\mathbf{u}(\mathrm{t}) \cdot \mathbf{v}(\mathrm{t}), \mathbf{u}(2)=\langle 1,2,-1\rangle, \mathbf{u}^{\prime}(2)=\langle 3,0,4\rangle e \mathbf{v}(\mathrm{t})= \left\langle\mathrm{t}, \mathrm{t}^{2}, \mathrm{t}^{3}\right\rangle.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar \mathrm{f}^{\prime}(2).
Informações dadas:
\mathrm{f}(\mathrm{t})=\mathbf{u}(\mathrm{t})\cdot\mathbf{v}(\mathrm{t}), \quad \mathbf{u}(2)=\langle 1,2,-1\rangle, \quad \mathbf{u}^{\prime}(2)=\langle 3,0,4\rangle, \quad \mathbf{v}(\mathrm{t})=\langle \mathrm{t},\mathrm{t}^{2},\mathrm{t}^{3}\rangle.

Passo 2

Regra de derivação para produto escalar (explicação didática): se \mathbf{u}(t)=\langle u_1(t),u_2(t),u_3(t)\rangle e \mathbf{v}(t)=\langle v_1(t),v_2(t),v_3(t)\rangle, então
\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t)=u_1(t)v_1(t)+u_2(t)v_2(t)+u_3(t)v_3(t).
Derivando termo a termo obtemos
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\big) = u_1'v_1+u_1v_1' + u_2'v_2+u_2v_2' + u_3'v_3+u_3v_3'.
Reagrupando, isto é
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\big) = \mathbf{u}'\cdot\mathbf{v} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}'.
Ou seja, a derivada do produto escalar é a soma do produto escalar da derivada de \mathbf{u} com \mathbf{v} e do produto escalar de \mathbf{u} com a derivada de \mathbf{v}.

Passo 3

Calcule \mathbf{v}'(t) derivando componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\langle t, t^{2}, t^{3}\rangle \quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}'(t)=\langle 1, 2t, 3t^{2}\rangle.

Passo 4

Avalie \mathbf{v}(2) e \mathbf{v}'(2):
\mathbf{v}(2)=\langle 2,4,8\rangle, \quad \mathbf{v}'(2)=\langle 1,4,12\rangle.

Passo 5

Use a fórmula da derivada do produto escalar em t=2:
\mathrm{f}'(2)=\mathbf{u}'(2)\cdot\mathbf{v}(2) + \mathbf{u}(2)\cdot\mathbf{v}'(2).
Substituindo os vetores conhecidos:
\mathbf{u}'(2)=\langle 3,0,4\rangle,\quad \mathbf{v}(2)=\langle 2,4,8\rangle,
\mathbf{u}(2)=\langle 1,2,-1\rangle,\quad \mathbf{v}'(2)=\langle 1,4,12\rangle.

Passo 6

Calcule cada produto escalar passo a passo:
\mathbf{u}'(2)\cdot\mathbf{v}(2) = \langle 3,0,4\rangle\cdot\langle 2,4,8\rangle = 3\cdot 2 + 0\cdot 4 + 4\cdot 8 = 6 + 0 + 32 = 38.
\mathbf{u}(2)\cdot\mathbf{v}'(2) = \langle 1,2,-1\rangle\cdot\langle 1,4,12\rangle = 1\cdot 1 + 2\cdot 4 + (-1)\cdot 12 = 1 + 8 - 12 = -3.

Passo 7

Some os dois resultados para obter \mathrm{f}'(2):
\mathrm{f}'(2)=38 + (-3) = 35.

Resposta

35

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