Exercício 15. (Apostol seção 1.17 exercício 2) Para cada um dos casos abaixo. acho uma base ortonormal para o subespaço de mathbbR^4 gerado pelos vetores dados:
u1=(1,1,0,1), u2=(1,0,2,1) e u3=(1,2,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de R^4 gerado por
u1=(1,1,0,1), u2=(1,0,2,1), u3=(1,2,-2,1)
O conteúdo aqui é o processo de Gram–Schmidt no espaço euclidiano padrão, seguido de normalização dos vetores ortogonais obtidos.

Passo 2

Definimos
v1=u1
Calculamos
lang<= v1,v1rang<= =1^2+1^2+0^2+1^2=3.
Logo
e1=v1raizlang<= v1,v1rang<= =(1,1,0,1)raiz3

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt a u2 e u3. Primeiro, projetamos u2 sobre v1:
lang<= u2,v1rang<==1cdot1+0cdot1+2cdot0+1cdot1=2, lang<= v1,v1rang<==3,
v2=u2-lang<= u2,v1rang<=lang<= v1,v1rang<=v1 =(1,0,2,1)-23(1,1,0,1) =l(tfrac13,-tfrac23,2,tfrac13r)
Agora projetamos u3 nos dois primeiros vetores:
lang<= u3,v1rang<==1+2+0+1=4, lang<= u3,v2rang<= =l(1,!2,!-2,!1r)cdotl(tfrac13,-tfrac23,2,tfrac13r) =-tfrac143,
lang<= v2,v2rang<= =l(tfrac13r)^2+l(-tfrac23r)^2+2^2+l(tfrac13r)^2 =tfrac143,
v3=u3 -43v1 --14/314/3v2 =u3-43v1+v2 =(0,0,0,0)
Como v3=0, o vetor u3 está no span de u1,u2 e a dimensão do subespaço é 2.

Passo 4

Para normalizar v2, notamos que
v2=l(tfrac13,-tfrac23,2,tfrac13r) =tfrac13(1,-2,6,1)
Seja p=(1,-2,6,1). Então
|p|=raiz1^2+(-2)^2+6^2+1^2=raiz42,
e2=p|p|=(1,-2,6,1)raiz42

Resposta

Uma base ortonormal do subespaço gerado por u1,u2,u3 é
e1=(1,1,0,1)raiz3, e2=(1,-2,6,1)raiz42

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