Faça os seguintes itens:
Considere a função . Encontre todos os números onde é contínua. Calcule ainda os limites e , se existirem.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede (i) os pontos onde é contínua e (ii) os limites e , se existirem. O conteúdo principal é continuidade de funções racionais e cálculo de limites, que usaremos fatoração e análise de assíntotas.
Passo 2
Para saber onde é contínua, observamos que é uma função racional e, portanto, continua em todo ponto onde o denominador não se anula. O denominador é
logo não está definida em nem em . Assim, é contínua em
Passo 3
Para facilitar o cálculo dos limites, fatoramos numerador e denominador:
Para podemos simplificar
Passo 4
Para não há problema de divisão por zero após a fatoração, pois o fator foi cancelado. Basta substituir na forma simplificada:
Passo 5
Para o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a
Como o numerador tende a -5neq0, temos uma assíntota vertical em x=-2. Mais precisamente:
Se xto -2^-, então x+2<0 pequeno e -5x+2to +infty.
Se xto -2^+, então x+2>0 pequeno e -5x+2to -infty.
Portanto o limite em x=-2 diverge e não existe.
Resposta
A função f é contínua em
Rsetminus-2,2
Além disso,
limxto2f(x)=34,
e
limxto-2f(x) não existe (diver>= para +infty pela esquerda e -infty pela direita) ã