Faça os seguintes itens:
Considere a função f(x)=2 x^2-5 x+2x^2-4. Encontre todos os números onde f é contínua. Calcule ainda os limites lim x 2 f(x) e lim x -2 f(x), se existirem.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2x^2-5x+2x^2-4
e pede (i) os pontos onde f é contínua e (ii) os limites limxto2f(x) e limxto-2f(x), se existirem. O conteúdo principal é continuidade de funções racionais e cálculo de limites, que usaremos fatoração e análise de assíntotas.

Passo 2

Para saber onde f é contínua, observamos que f é uma função racional e, portanto, continua em todo ponto onde o denominador não se anula. O denominador é
x^2-4=(x-2)(x+2),
logo f não está definida em x=2 nem em x=-2. Assim, f é contínua em
Rsetminus-2,2

Passo 3

Para facilitar o cálculo dos limites, fatoramos numerador e denominador:
2x^2-5x+2 = (2x-1)(x-2), x^2-4=(x-2)(x+2)
Para xneq pm2 podemos simplificar
f(x)=(2x-1)(x-2)(x-2)(x+2) =2x-1x+2

Passo 4

Para limxto2f(x) não há problema de divisão por zero após a fatoração, pois o fator (x-2) foi cancelado. Basta substituir x=2 na forma simplificada:
limxto2f(x) =limxto22x-1x+2 =2cdot2-12+2 =4-14 =34

Passo 5

Para limxto-2f(x) o denominador x+2 tende a zero enquanto o numerador tende a
2x-1m|x=-2=2cdot(-2)-1=-5
Como o numerador tende a -5neq0, temos uma assíntota vertical em x=-2. Mais precisamente:
  • Se xto -2^-, então x+2<0 pequeno e -5x+2to +infty.
  • Se xto -2^+, então x+2>0 pequeno e -5x+2to -infty.
Portanto o limite em x=-2 diverge e não existe.

Resposta

A função f é contínua em
Rsetminus-2,2
Além disso,
limxto2f(x)=34,
e
limxto-2f(x) não existe (diver>= para +infty pela esquerda e -infty pela direita) ã

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