5.7A O Teorema de Existência e Unicidade é aplicável ao p.v.i. x y^prime-2 y=0, y(1)=1 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o Teorema de Existência e Unicidade (para equações diferenciais da forma y'=f(x,y)) pode ser aplicado ao problema de valor inicial
x,y' - 2,y = 0, y(1)=1
O conteúdo é o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindel"of e vamos precisar verificar se a equação pode ser escrita em forma padrão e se f e partial f/partial y são contínuas num retângulo que contenha o ponto inicial (1,1).

Passo 2

Colocamos a EDO em forma padrão resolvendo para y'. Partindo de
x,y' - 2,y = 0
obtemos
y' = 2,yx

Passo 3

Identificamos a função
f(x,y) = 2,yx

Passo 4

Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(x,y) = 2x
Tanto f(x,y)=2y/x quanto partial f/partial y = 2/x são contínuas para xneq0. Em particular, existem retângulos do tipo (a,b)times(c,d)subset(0,infty)timesR que contêm o ponto (1,1) e em que ambas as funções são contínuas.

Passo 5

Como f e partial f/partial y são contínuas num vizinhança de (1,1), o Teorema de Existência e Unicidade se aplica e garante solução única para o PVI em torno de x=1.

Resposta

Sim, o teorema é aplicável, pois ao escrever y'=2y/x as funções f(x,y)=2y/x e partial f/partial y=2/x são contínuas num intervalo que contém x=1.

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