Encontre a equação do plano tangente e da reta normal à superfície x y+y z+z x=5 no ponto (1,1,2) (1.0 ponto)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a superfície de nível dada por
xy + yz + zx = 5
e queremos a equação do plano tangente e da reta normal a essa superfície no ponto (1,1,2). O método geral consiste em definir
F(x,y,z) = xy + yz + zx - 5,
de modo que a normal ao plano tangente é o vetor gradiente nabla F avaliado no ponto dado.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de F.
partial Fpartial x = y + z, partial Fpartial y = x + z, partial Fpartial z = x + y

Passo 3

Avaliar nabla F no ponto (x,y,z)=(1,1,2).
nabla F(1,1,2) = l(y+z,;x+z,;x+yr)|(1,1,2) = (1+2,;1+2,;1+1) = (3,3,2)
Esse vetor é normal ao plano tangente.

Passo 4

Escrever a equação do plano tangente usando a forma ponto–normal. Se (x0,y0,z0)=(1,1,2) e n=(3,3,2), então
3(x-1) + 3(y-1) + 2(z-2) = 0
que simplifica para
3x + 3y + 2z = 10

Passo 5

A reta normal ao plano tangente passa por (1,1,2) na direção do vetor normal (3,3,2). Logo suas equações paramétricas são
x = 1 + 3t, y = 1 + 3t, z = 2 + 2t, tinR

Resposta

Equação do plano tangente:
3x + 3y + 2z = 10
Equações paramétricas da reta normal:
x = 1 + 3t, y = 1 + 3t, z = 2 + 2t, tinR

Exercícios relacionados