Calcule as derivadas laterais nos possíveis pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)= 1 - x^2, &se |x|>1, 0, &se |x|<=1,
e pede as derivadas laterais nos pontos onde ela pode não ser derivável, ou seja, em x=-1 e x=1. Também precisamos esboçar o gráfico de f.
Passo 2
Para |x|<1 temos f(x)=0, uma constante. Logo, em qualquer ponto interno desse intervalo
f'(x)=0
Passo 3
Para |x|>1 temos f(x)=1-x^2. Aplicando a regra de potência,
f'(x)= -2x
Passo 4
Cálculo das derivadas laterais em x=1:
Derivada à esquerda (xto1^-): nesse lado |x|<1, então f'-(1)=0
Derivada à direita (xto1^+): nesse lado |x|>1, então f'+(1)=limxto1^+(-2x)=-2cdot1=-2
Passo 5
Cálculo das derivadas laterais em x=-1:
Derivada à esquerda (xto(-1)^-): nesse lado |x|>1, então f'-l(-1r)=limxto(-1)^-(-2x)=-2cdot(-1)=2
Derivada à direita (xto(-1)^+): nesse lado |x|<1, então f'+l(-1r)=0
Passo 6
Esboço do gráfico de f:
No intervalo [-1,1], f(x)=0, um segmento horizontal ao longo do eixo x.
Para x>1 e para x<-1, temos as “pontas” de parábola dada por y=1-x^2, que atinge zero em x=pm1 e decresce quadráticamente para -infty quando |x|toinfty.
Os pontos x=pm1 estão incluídos no segmento y=0, de modo que o gráfico é contínuo, mas as inclinações mudam de 0 para -2 em x=1 e de 2 para 0 em x=-1.
Resposta
As derivadas laterais são
f'-(1)=0, f'+(1)=-2, f'-l(-1r)=2, f'+l(-1r)=0
O gráfico é horizontal em y=0 para -1<= x<=1 e forma duas “pontas” de parábola 1-x^2 para x<-1 e x>1, ligando-se continuamente em (pm1,0).