Encontre a equação do plano tangente à superfície -12 x^2+3 y^2-z=0, no ponto P(1,4,36).

Passo 1

A questão pede o plano tangente à superfície definida por F(x,y,z)=-12x^2+3y^2-z=0 no ponto P(1,4,36). Vamos usar gradiente e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Definimos F(x,y,z)=-12x^2+3y^2-z. O gradiente de F é dado por nabla F=(Fx,Fy,Fz). Calculamos as derivadas parciais: Fx=partial Fpartial x=-24x, Fy=partial Fpartial y=6y, Fz=partial Fpartial z=-1

Passo 3

Avaliamos o gradiente no ponto P(1,4,36): nabla F(1,4,36)=(-24cdot1,;6cdot4,;-1)=(-24,24,-1)

Passo 4

Usamos a equação geral do plano tangente: nabla F(P)cdot(x-x0,y-y0,z-z0)=0 Substituindo P=(1,4,36) e nabla F(P)=(-24,24,-1) temos -24(x-1)+24(y-4)-1(z-36)=0

Passo 5

Agora basta simplificar: -24x+24+24y-96 -z+36=0 resulta em -24x+24y -z -36=0 Multiplicando por -1 para ficar mais elegante, obtemos 24x-24y+z+36=0

Resposta

24x - 24y + z + 36 = 0

Exercícios relacionados