Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida. Suponha que u e v sejam funções diferenciáveis de x e y e que a, b sejam constantes.
nabla(u v)=u nabla v+v nabla u

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que o gradiente de um produto de duas funções, u e v, é igual a u vezes o gradiente de v mais v vezes o gradiente de u. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre o gradiente e as propriedades de derivação. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o gradiente de uma função e aplicar as regras de derivação para produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função f(x, y) é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a x e y. Ou seja,
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 3

Agora, queremos calcular o gradiente do produto u v. Segundo a definição do gradiente:
nabla(u v) = ( partial (u v)partial x, partial (u v)partial y )

Passo 4

Vamos calcular cada componente desse vetor. Primeiro, a derivada parcial com relação a x:
partial (u v)partial x = u partial vpartial x + v partial upartial x
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada do produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.

Passo 5

Fazendo o mesmo para a derivada parcial com relação a y:
partial (u v)partial y = u partial vpartial y + v partial upartial y

Passo 6

Agora, juntando as duas componentes, temos:
nabla(u v) = ( u partial vpartial x + v partial upartial x, u partial vpartial y + v partial upartial y )

Passo 7

Podemos fatorar u e v nos termos correspondentes:
nabla(u v) = u ( partial vpartial x, partial vpartial y ) + v ( partial upartial x, partial upartial y )

Passo 8

Reconhecendo que os vetores dentro dos parênteses são os gradientes de v e u respectivamente, temos:
nabla(u v) = u, nabla v + v, nabla u

Resposta

Portanto, mostramos que:
nabla(u v) = u, nabla v + v, nabla u

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