Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida. Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis de
e y e que
sejam constantes.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para mostrar que o gradiente de um produto de duas funções,
e
, é igual a
vezes o gradiente de
mais
vezes o gradiente de
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre o gradiente e as propriedades de derivação. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o gradiente de uma função e aplicar as regras de derivação para produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Passo 3
Agora, queremos calcular o gradiente do produto
. Segundo a definição do gradiente:
Passo 4
Vamos calcular cada componente desse vetor. Primeiro, a derivada parcial com relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada do produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Passo 5
Fazendo o mesmo para a derivada parcial com relação a
:
Passo 6
Agora, juntando as duas componentes, temos:
Passo 7
Podemos fatorar
e
nos termos correspondentes:
Passo 8
Reconhecendo que os vetores dentro dos parênteses são os gradientes de
e
respectivamente, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: