Encontre a equação do plano tangente à superfície da função no ponto indicado.
Lembrando que, para uma função f e um ponto (x0, y0), a equação deste plano é
z=f(x0, y0)+fx(x0, y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0)
f3(x, y)=e^-4 x-e^-5 y2, no ponto (-2,1).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície
z = f3(x,y) = e^-4x - e^-5y2
e queremos a equação do plano tangente em (x0,y0)=(-2,1). O conteúdo envolve derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em relação a x e y. Para x:
fx(x,y) = partialpartial xl(tfrace^-4x - e^-5y2r) = tfrac12(-4 e^-4x) = -2 e^-4x
Para y:
fy(x,y) = partialpartial yl(tfrace^-4x - e^-5y2r) = tfrac12(5 e^-5y) = 52 e^-5y

Passo 3

Avaliar f, fx e fy em (x0,y0)=(-2,1):
f(-2,1) = e^-4(-2) - e^-5cdot12 = e^8 - e^-52,
fx(-2,1) = -2 e^-4(-2) = -2 e^8, fy(-2,1) = 52 e^-5

Passo 4

Substituir na fórmula do plano tangente
z = f(x0,y0) + fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Como x0=-2 e y0=1, temos
z = e^8 - e^-52 -2 e^8(x + 2) + 52 e^-5(y - 1)

Resposta

A equação do plano tangente é
z = e^8 - e^-52 - 2 e^8,(x + 2) + 52 e^-5,(y - 1)

Exercícios relacionados