Encontre a equação do plano tangente à superfície da função no ponto indicado.
Lembrando que, para uma função f e um ponto (x0, y0), a equação deste plano é
z=f(x0, y0)+fx(x0, y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0)
f1(x, y)=x^2+5 y^2, no ponto (-5,-3).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por
f1(x,y)=x^2+5y^2
no ponto (-5,-3).
O conteúdo necessário é cálculo de derivadas parciais e uso da fórmula do plano tangente
z = f(x0,y0) + fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f1:
fx(x,y) = partialpartial x(x^2+5y^2) = 2x,
fy(x,y) = partialpartial y(x^2+5y^2) = 10y

Passo 3

Avaliamos f1, fx e fy em (x0,y0)=(-5,-3):
f1(-5,-3) = (-5)^2 + 5cdot(-3)^2 = 25 + 45 = 70,
fx(-5,-3) = 2cdot(-5) = -10,
fy(-5,-3) = 10cdot(-3) = -30

Passo 4

Substituímos na fórmula do plano tangente:
z = 70 + (-10),(x - (-5)) + (-30),(y - (-3)),
que fica
z = 70 -10,(x+5) -30,(y+3)
Ao simplificar:
z = 70 -10x -50 -30y -90 = -10x -30y -70

Resposta

A equação do plano tangente é
boxedz = -10x -30y -70

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