Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
(t-2) y^prime prime+y^prime-(t-2) t y=0, y(3)=1, y^prime(3)=2.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
(t-2),y''+y'-(t-2),t,y=0, y(3)=1,;y'(3)=2
Aqui o conteúdo é o Teorema de existência e unicidade para equações lineares de segunda ordem. Vamos precisar escrever a equação na forma padrão
y''+p(t),y'+q(t),y=0
e então checar onde os coeficientes p(t), q(t) são contínuos em um intervalo contendo o ponto inicial t0=3.

Passo 2

Dividindo toda a equação por (t-2), válida desde que tneq2, obtemos a forma padrão
y''+1t-2,y'-t,y=0
Logo
p(t)=1t-2, q(t)=-t, g(t)=0

Passo 3

Pelo Teorema de existência e unicidade, a solução existe e é única em qualquer intervalo onde p(t), q(t) e g(t) sejam contínuos.
  • q(t)=-t e g(t)=0 são contínuos em R.
  • p(t)=1/(t-2) é contínuo em (-infty,2) e em (2,infty), mas não em t=2.

Passo 4

Como o ponto inicial t0=3 está em (2,infty), o maior intervalo aberto que contém 3 e onde todos os coeficientes são contínuos é
(2,infty)

Resposta

O maior intervalo onde a solução existe e é única é (2,infty).

Exercícios relacionados