Esboce o gráfico das funções abaixo, mostrando suas assíntotas.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos esboçar o gráfico da função racional
Mostraremos as assíntotas vertical e horizontal e alguns pontos-chaves para guiar o esboço. O conteúdo envolve domínio, limites para achar assíntotas, divisão de polinômios e interceptos com eixos.
Passo 2
Determinar o domínio e a assíntota vertical. A função está definida sempre que o denominador não for zero, ou seja,
Portanto, há uma assíntota vertical em
Passo 3
Encontrar a assíntota horizontal, analisando o comportamento para
. Fazendo a divisão de polinômios:
Quando
, o termo
, logo
e a assíntota horizontal é
Passo 4
Calcular interceptos com os eixos para ter pontos de referência:
– Intercepto com o eixo (
):
– Intercepto com o eixo
Ponto
.
– Intercepto com o eixo (
):
– Intercepto com o eixo
Ponto
.
Passo 5
Analisar o comportamento perto da assíntota vertical
, calculando limites laterais:
– Para , o numerador
e o denominador
, então
– Para
– Para
, o numerador
e o denominador
, então
Passo 6
Esboço final do gráfico:
- Desenhe as retas-guia
(vertical) e (horizontal). - Marque os pontos
e . - Para
, a curva fica acima de quando é muito grande e tende a ao se aproximar de pela direita, passando em . - Para
, a curva fica abaixo de , tende a ao se aproximar de pela esquerda e cruza o eixo em .
Resposta
A função é uma hipérbole com centro em
, assíntotas
interceptos em
e
, e ramos nos quadrantes determinados pelas retas-guia conforme descrito acima.