Esboce o gráfico das funções abaixo, mostrando suas assíntotas.
y=x+4x+3

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos esboçar o gráfico da função racional
y = x+4x+3
Mostraremos as assíntotas vertical e horizontal e alguns pontos-chaves para guiar o esboço. O conteúdo envolve domínio, limites para achar assíntotas, divisão de polinômios e interceptos com eixos.

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical. A função está definida sempre que o denominador não for zero, ou seja,
x+3 neq 0 Longrightarrow x neq -3
Portanto, há uma assíntota vertical em
x = -3

Passo 3

Encontrar a assíntota horizontal, analisando o comportamento para xtopminfty. Fazendo a divisão de polinômios:
x+4x+3 = (x+3)+1x+3 = 1 + 1x+3
Quando xtopminfty, o termo 1/(x+3)to 0, logo
limxtopminftyx+4x+3 = 1,
e a assíntota horizontal é
y = 1

Passo 4

Calcular interceptos com os eixos para ter pontos de referência:
– Intercepto com o eixo x ( y=0):
0 = x+4x+3Longrightarrow x+4=0 Longrightarrow x=-4
Ponto (-4,0).
– Intercepto com o eixo y ( x=0):
y = 0+40+3 = 43
Ponto l(0,tfrac43r).

Passo 5

Analisar o comportamento perto da assíntota vertical x=-3, calculando limites laterais:
– Para xto(-3)^+, o numerador x+4to1>0 e o denominador x+3to0^+, então
yto +infty
– Para xto(-3)^-, o numerador x+4to1>0 e o denominador x+3to0^-, então
yto -infty

Passo 6

Esboço final do gráfico:
  1. Desenhe as retas-guia x=-3 (vertical) e y=1 (horizontal).
  2. Marque os pontos (-4,0) e l(0,tfrac43r).
  3. Para x>-3, a curva fica acima de y=1 quando x é muito grande e tende a +infty ao se aproximar de -3 pela direita, passando em l(0,tfrac43r).
  4. Para x<-3, a curva fica abaixo de y=1, tende a -infty ao se aproximar de -3 pela esquerda e cruza o eixo x em (-4,0).

Resposta

A função é uma hipérbole com centro em (-3,1), assíntotas
x = -3 e y = 1,
interceptos em (-4,0) e l(0,tfrac43r), e ramos nos quadrantes determinados pelas retas-guia conforme descrito acima.

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