Encontre a equação do plano tangente à superfície da função no ponto indicado.
Lembrando que, para uma função e um ponto , a equação deste plano é
.)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície
z = f4(x,y) = ln xx^2y^3
no ponto l(x0,y0r)=l(3,tfrac13r).
Para isso, usamos a fórmula
z = f(x0,y0) + fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0),
ou seja, precisamos de f(3,tfrac13), de fx(3,tfrac13) e de fy(3,tfrac13).

Passo 2

Calcular f(3,tfrac13).
fl(3,tfrac13r) = ln(3)3^2,l(tfrac13r)^3 = ln(3)9 cdot tfrac127 = ln(3)tfrac13 = 3,ln(3)

Passo 3

Calcular a derivada parcial em relação a x.
Escrevendo
f(x,y) = (ln x),x^-2,y^-3,
temos, pela regra do produto,
fx(x,y) = 1x,x^-2y^-3 + (ln x),(-2x^-3),y^-3 = x^-3y^-3l[1 - 2ln xr]
Logo,
fxl(3,tfrac13r) = 3^-3,l(tfrac13r)^-3l[1 - 2ln3r] = (tfrac127cdot 27)l[1 - 2ln3r] = 1 - 2ln3

Passo 4

Calcular a derivada parcial em relação a y.
fy(x,y) = (ln x),x^-2,(-3y^-4) = -3,ln x,x^-2y^-4
Portanto,
fyl(3,tfrac13r) = -3,ln3 cdot 3^-2,l(tfrac13r)^-4 = -3,ln3 cdot 19cdot 81 = -27,ln3

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z = 3ln3 + (1 - 2ln3),(x - 3) + l(-27ln3r)l(y - tfrac13r)

Resposta

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