Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
lim x infty x^3 e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinfty x^3e^-x^2
O conteúdo envolve limites no infinito e a Regra de L’H^opital para formas indeterminadas do tipo inftyinfty. Vamos ver se é mais simples usar um argumento de “exponencial domina polinômio” ou aplicar diretamente L’H^opital.

Passo 2

Reescrevemos o produto como quociente para identificar a forma indeterminada:
x^3e^-x^2 =x^3e^x^2
Quando xtoinfty, o numerador tende a +infty e o denominador também a +infty, então temos a forma inftyinfty e a regra de L’H^opital se aplica.

Passo 3

Aplicamos L’H^opital diferenciando numerador e denominador sucessivamente até obter um resultado não indeterminado.
1. Primeira aplicação:
Numerador to 3x^2, Denominador to (e^x^2)'!=2x e^x^2.
Logo o limite vira
limxtoinfty3x^22x e^x^2 =limxtoinfty3x2e^x^2,
que ainda é inftyinfty.
2. Segunda aplicação:
Numerador to 3, Denominador to (2x e^x^2)'!=2e^x^2+4x^2e^x^2=2e^x^2(1+2x^2).
Assim o limite fica
limxtoinfty32e^x^2(1+2x^2)
Agora o numerador é constante e o denominador cresce sem limite, ou seja, tende a +infty.

Passo 4

Como o denominador vai a +infty e o numerador permanece 3, o quociente tende a 0. Portanto
limxtoinftyx^3e^-x^2 = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados