Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo envolve limites no infinito e a Regra de L’H^opital para formas indeterminadas do tipo
. Vamos ver se é mais simples usar um argumento de “exponencial domina polinômio” ou aplicar diretamente L’H^opital.
Passo 2
Reescrevemos o produto como quociente para identificar a forma indeterminada:
Quando
, o numerador tende a
e o denominador também a
, então temos a forma
e a regra de L’H^opital se aplica.
Passo 3
Aplicamos L’H^opital diferenciando numerador e denominador sucessivamente até obter um resultado não indeterminado.
Numerador
Logo o limite vira
que ainda é
.
Numerador
Assim o limite fica
Agora o numerador é constante e o denominador cresce sem limite, ou seja, tende a
.
Passo 4
Como o denominador vai a
e o numerador permanece
, o quociente tende a
. Portanto