Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá uma EDO de primeira ordem do tipo separável: y’=x e^{x+y}. O conteúdo é separação de variáveis e precisamos reescrever e^{x+y} como e^x e^y para isolar dy e dx.
Passo 2
Reescrevendo y’ como
e usando e{x+y}=ex e^y, temos:
Para separar as variáveis colocamos tudo com y num lado e tudo com x no outro:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
No lado direito usamos integração por partes com
Calculando as integrais:
Passo 4
Colocando os resultados juntos dá:
Multiplicando por -1 e definindo
Tomando o logaritmo natural e isolando y chega-se a: