Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
c) y^prime=x e^x+y

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem do tipo separável: y’=x e^{x+y}. O conteúdo é separação de variáveis e precisamos reescrever e^{x+y} como e^x e^y para isolar dy e dx.

Passo 2

Reescrevendo y’ como dydx e usando e{x+y}=ex e^y, temos:
dydx = x,e^x,e^y
Para separar as variáveis colocamos tudo com y num lado e tudo com x no outro:
e^-y,dy = x,e^x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral e^-y,dy = integral x,e^x,dx
No lado direito usamos integração por partes com u=x e dv=e^x,dx.
Calculando as integrais:
integral e^-y,dy = -e^-y
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = x,e^x - e^x + C

Passo 4

Colocando os resultados juntos dá:
-e^-y = x,e^x - e^x + C
Multiplicando por -1 e definindo C1=-C, obtemos:
e^-y = e^x(1 - x) + C1
Tomando o logaritmo natural e isolando y chega-se a:
y = -lnl(e^x(1 - x) + C1r)

Resposta

y = -lnl(e^x(1 - x) + C1r)

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