Represente a solução do problema de valor inicial a seguir como uma integral de convolução:
y^prime prime+y^prime+54 y=1-upi(t) ; y0=1, y0^prime=1

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI y''+y'+tfrac54,y=1-upi(t) com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. O objetivo é escrever a solução como uma convolução entre a entrada f(t)=1-upi(t) e a resposta ao impulso do sistema.

Passo 2

Para achar a resposta ao impulso h(t), fazemos a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e obtemos
$$
H(s)=\frac1{s2+s+5/4}=\frac1{(s+1/2)2+1}\n H(s)=1s^2+s+5/4=1(s+1/2)^2+1n
h(t)=e^{-t/2}\sin t,\quad t\ge0.
$$

Passo 3

Em teoria de sistemas lineares, a solução total se decompõe em resposta livre (devida às condições iniciais) mais resposta forçada via convolução:
y(t)=yh(t)+integral0^t h(t-tau),f(tau),dtau,
onde f(t)=1-upi(t).

Passo 4

Para obter a resposta livre yh(t), resolvemos a equação homogênea y''+y'+tfrac54y=0. As raízes são -1/2pm j, gerando
yh(t)=e^-t/2l(C1cos t+C2sin tr)
Impondo y(0)=1 C1=1, e y'(0)=1 leva a C2=3/2, logo
yh(t)=e^-t/2l(cos t+tfrac32sin tr)

Passo 5

Finalmente, combinando tudo, a solução do PVI fica
y(t)=e^-t/2l(cos t+tfrac32sin tr)+ integral0^t e^-t-tau2sin(t-tau)l[1-upi(tau)r],dtau

Resposta

y(t)=e^-t/2l(cos t+tfrac32sin tr)+ integral0^t e^-t-tau2sin(t-tau)l[1-upi(tau)r],dtau

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