Represente a solução do problema de valor inicial a seguir como uma integral de convolução:
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
com condições iniciais
e
. O objetivo é escrever a solução como uma convolução entre a entrada
e a resposta ao impulso do sistema.
Passo 2
Para achar a resposta ao impulso
, fazemos a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e obtemos
$$
H(s)=\frac1{s2+s+5/4}=\frac1{(s+1/2)2+1}\n
h(t)=e^{-t/2}\sin t,\quad t\ge0.
$$
Passo 3
Em teoria de sistemas lineares, a solução total se decompõe em resposta livre (devida às condições iniciais) mais resposta forçada via convolução:
onde
.
Passo 4
Para obter a resposta livre
, resolvemos a equação homogênea
. As raízes são
, gerando
Impondo
dá
, e
leva a
, logo
Passo 5
Finalmente, combinando tudo, a solução do PVI fica