Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado.
Lembrando que, para uma superfície f(x, y, z)=k, com um k constante, e um ponto (x0, y0, z0), a equação deste plano é
fx(x0, y0, z0)(x-x0)+fy(x0, y0, z0)(y-y0)+fz(x0, y0, z0)(z-z0)=0
e^z-4 x y+e^-z2=2, no ponto (18,-5, ln 2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície implícita
e^z-4xy+e^-z2=2
no ponto l(x0,y0,z0r)=l(tfrac18,-5,ln2r). Vamos usar o fato de que, para uma superfície definida por
f(x,y,z)=k,
o vetor gradiente nabla fl(x0,y0,z0r) é normal ao plano tangente, e a equação desse plano é
fx(x0,y0,z0),(x-x0) +fy(x0,y0,z0),(y-y0) +fz(x0,y0,z0),(z-z0)=0

Passo 2

Definimos
f(x,y,z) =e^z-4xy+e^-z2
Calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y,z) =partialpartial xl(tfrace^z-4xy+e^-z2r) =-4y2=-2y,
fy(x,y,z) =-2x,
fz(x,y,z) =partialpartial zl(tfrace^z+e^-z2r) =e^z-e^-z2 =sinh(z)

Passo 3

Agora avaliamos em l(x0,y0,z0r)=l(tfrac18,-5,ln2r):
fxl(x0,y0,z0r) =-2,y0 =-2cdot(-5)=10,
fyl(x0,y0,z0r) =-2,x0 =-2cdot18=-14,
fzl(x0,y0,z0r) =sinhl(ln2r) =e^ln2-e^-ln22 =2-tfrac122 =3/22 =34

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do plano tangente:
10,(x-tfrac18) -tfrac14,(y-(-5)) +tfrac34,(z-ln2) =0
Podemos multiplicar tudo por 4 para simplificar:
40,(x-tfrac18) -(y+5) +3,(z-ln2) =0
e expandir:
40x-5 -y-5 +3z-3ln2 =0
40x -y +3z -10 -3ln2 = 0
40x - y +3z = 10 + 3ln2

Resposta

A equação do plano tangente é
40x - y + 3z = 10 + 3ln2

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