Esboce as curvas com as equações polares dadas:
(lemniscata)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar a curva definida pela equação polar
Informações fornecidas e o que precisamos identificar para desenhar o gráfico:
- A equação é
- Precisamos determinar para quais
existe real e não imaginário (ou seja, onde ). - Precisamos traçar os pontos importantes (interseções com o eixo polar, pontos onde
, máximos de ) e explorar simetrias para conseguir o esboço completo.
Passo 2
Relembrando relações úteis entre coordenadas polares e cartesianas (úteis para interpretação):
Também usaremos a identidade trigonométrica
quando for conveniente passar para a forma cartesiana.
Passo 3
Condição para
real: da equação
temos que necessariamente
Vamos achar os intervalos em
onde isso vale. Sabemos que
para
. Substituindo
, obtemos
ou seja
Portanto existem dois conjuntos de ângulos por período
onde
é real: um centrado em
(direção positiva do eixo
) e outro centrado em
(direção negativa do eixo
). Isso já sugere duas “folhas” opostas.
Passo 4
Expressão de
quando
: tomamos a raiz não negativa (padrão em coordenadas polares)
Observação sobre sinal: a equação
também admite soluções formais
, mas em coordenadas polares isso equivale a trocar
por
. Assim, é suficiente traçar
nos intervalos onde
.
Passo 5
Simetrias e periodicidade (que facilitam o esboço):
- Como
, a curva é simétrica em relação ao eixo polar ( , eixo ). - A função
tem período , então a curva tem repetição a cada em , o que explica as duas folhas opostas.
Essas simetrias indicam que basta construir a folha parae então refletir/replicar para obter a folha oposta em .
Passo 6
Pontos-chave (calculemos alguns valores para esboçar): usar
.
Calculemos em alguns
dentro da folha direita
:
Valores simétricos ocorrem para
. Para a folha esquerda, considere
onde
e
, dando
no ponto
(isto é,
no plano cartesiano). Em
e
tem
(origem).
Passo 7
Como desenhar, passo a passo prático (o que você faria no papel):
- Desenhe o sistema polar (eixo polar = eixo
). - Marque os pontos
que é o ponto em cartesianas e que corresponde a . - Para a folha direita, varie
de até e plote os pares com os valores do passo anterior; você verá máximo em e quando . Ligue suavemente esses pontos formando uma curva que sai da origem, cresce até em e volta à origem. - Repita o mesmo para a folha esquerda variando
de até . Essa folha é exatamente a imagem da primeira refle tida em relação à origem (oposta). - Use a simetria em relação ao eixo
para garantir a parte superior e inferior da folha iguais.
Passo 8
Interpretação cartesiana e propriedades geométricas (para consolidar entendimento): transforme a equação em
. Partindo de
e usando
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
,
Essa é a forma cartesiana quartica que descreve a lemniscata: confirma que os únicos pontos sobre o eixo
são soluções de
, ou seja
, o que dá os pontos
,
e
. No eixo
não há interseção além da origem. Isso confirma o formato de “8” (duas folhas horizontais encontrando-se na origem).
Passo 9
Resumo prático do esboço (como o desenho deve ficar):
- A curva é uma lemniscata (figura em 8) com duas folhas simétricas ao longo do eixo
. - Cada folha é gerada por
em (folha direita) e em (folha esquerda), desenhando . - A folha direita vai de
em até em . A folha esquerda é análoga e atinge . - A curva passa pela origem (as duas folhas se encontram em
).
Resposta
Lemniscata dada por
com duas folhas simétricas ao longo do eixo
; folha direita traçada por
com
(atinge
em
e
em
), e folha esquerda traçada por
(atinge
). Cartesianamente: