Esboce as curvas com as equações polares dadas:
r^{2}=\cos 2 \theta (lemniscata)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar a curva definida pela equação polar r^{2}=\cos 2\theta.
Informações fornecidas e o que precisamos identificar para desenhar o gráfico:
  • A equação é r^{2}=\cos 2\theta.
  • Precisamos determinar para quais \theta existe r real e não imaginário (ou seja, onde \cos 2\theta\ge 0).
  • Precisamos traçar os pontos importantes (interseções com o eixo polar, pontos onde r=0, máximos de r) e explorar simetrias para conseguir o esboço completo.

Passo 2

Relembrando relações úteis entre coordenadas polares e cartesianas (úteis para interpretação):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Também usaremos a identidade trigonométrica
\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando for conveniente passar para a forma cartesiana.

Passo 3

Condição para r real: da equação r^{2}=\cos 2\theta temos que necessariamente \cos 2\theta\ge 0. Vamos achar os intervalos em \theta onde isso vale. Sabemos que \cos t\ge 0 para t\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]+2k\pi. Substituindo t=2\theta, obtemos
2\theta\in\Big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\Big]+2k\pi
ou seja
\theta\in\Big[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\Big]+k\pi.
Portanto existem dois conjuntos de ângulos por período \pi onde r é real: um centrado em \theta=0 (direção positiva do eixo x) e outro centrado em \theta=\pi (direção negativa do eixo x). Isso já sugere duas “folhas” opostas.

Passo 4

Expressão de r quando \cos 2\theta\ge 0: tomamos a raiz não negativa (padrão em coordenadas polares)
r(\theta)=\sqrt{\cos 2\theta}\qquad\text{para }\theta\text{ nos intervalos acima.}
Observação sobre sinal: a equação r^{2}=\cos 2\theta também admite soluções formais r=-\sqrt{\cos 2\theta}, mas em coordenadas polares isso equivale a trocar \theta por \theta+\pi. Assim, é suficiente traçar r\ge 0 nos intervalos onde \cos 2\theta\ge 0.

Passo 5

Simetrias e periodicidade (que facilitam o esboço):
  • Como \cos 2(-\theta)=\cos 2\theta, a curva é simétrica em relação ao eixo polar ( \theta=0, eixo x).
  • A função \cos 2\theta tem período \pi, então a curva tem repetição a cada \pi em \theta, o que explica as duas folhas opostas.
    Essas simetrias indicam que basta construir a folha para \theta\in[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}] e então refletir/replicar para obter a folha oposta em \theta\in[ \tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}].

Passo 6

Pontos-chave (calculemos alguns valores para esboçar): usar \;r(\theta)=\sqrt{\cos 2\theta}.
Calculemos em alguns \theta dentro da folha direita \theta\in[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}]:
\begin{aligned} \theta&=0:\quad &2\theta=0,\quad &\cos 0=1\quad &\Rightarrow r&=\sqrt{1}=1.\\\ \theta&=\tfrac{\pi}{8}:\quad &2\theta=\tfrac{\pi}{4},\quad &\cos \tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\quad &\Rightarrow r&=\sqrt{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}\approx 0,841.\\\ \theta&=\tfrac{\pi}{6}:\quad &2\theta=\tfrac{\pi}{3},\quad &\cos \tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\quad &\Rightarrow r&=\sqrt{\tfrac{1}{2}}\approx 0,707.\\\ \theta&=\tfrac{\pi}{4}:\quad &2\theta=\tfrac{\pi}{2},\quad &\cos \tfrac{\pi}{2}=0\quad &\Rightarrow r&=0. \end{aligned}
Valores simétricos ocorrem para \theta<0. Para a folha esquerda, considere \theta=\pi onde 2\theta=2\pi e \cos 2\pi=1, dando r=1 no ponto \theta=\pi (isto é, (-1,0) no plano cartesiano). Em \theta=\tfrac{3\pi}{4} e \theta=\tfrac{5\pi}{4} tem r=0 (origem).

Passo 7

Como desenhar, passo a passo prático (o que você faria no papel):
  1. Desenhe o sistema polar (eixo polar = eixo x).
  2. Marque os pontos (r,\theta)=(1,0) que é o ponto (1,0) em cartesianas e (1,\pi) que corresponde a (-1,0).
  3. Para a folha direita, varie \theta de -\tfrac{\pi}{4} até \tfrac{\pi}{4} e plote os pares \big(r(\theta),\theta\big) com os valores do passo anterior; você verá r máximo em \theta=0 e r\to 0 quando \theta\to\pm\tfrac{\pi}{4}. Ligue suavemente esses pontos formando uma curva que sai da origem, cresce até r=1 em \theta=0 e volta à origem.
  4. Repita o mesmo para a folha esquerda variando \theta de \tfrac{3\pi}{4} até \tfrac{5\pi}{4}. Essa folha é exatamente a imagem da primeira refle tida em relação à origem (oposta).
  5. Use a simetria em relação ao eixo x para garantir a parte superior e inferior da folha iguais.

Passo 8

Interpretação cartesiana e propriedades geométricas (para consolidar entendimento): transforme a equação em x,y. Partindo de \cos 2\theta=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} e usando r^{2}=x^{2}+y^{2}, obtemos
x^{2}+y^{2}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}+y^{2},
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}=x^{2}-y^{2}.
Essa é a forma cartesiana quartica que descreve a lemniscata: confirma que os únicos pontos sobre o eixo x são soluções de x^{4}=x^{2}, ou seja x=0,\pm1, o que dá os pontos (0,0), (1,0) e (-1,0). No eixo y não há interseção além da origem. Isso confirma o formato de “8” (duas folhas horizontais encontrando-se na origem).

Passo 9

Resumo prático do esboço (como o desenho deve ficar):
  • A curva é uma lemniscata (figura em 8) com duas folhas simétricas ao longo do eixo x.
  • Cada folha é gerada por \theta em \big[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\big] (folha direita) e em \big[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\big] (folha esquerda), desenhando r(\theta)=\sqrt{\cos 2\theta}.
  • A folha direita vai de r=0 em \theta=\pm\tfrac{\pi}{4} até r=1 em \theta=0. A folha esquerda é análoga e atinge (-1,0).
  • A curva passa pela origem (as duas folhas se encontram em (0,0)).

Resposta

Lemniscata dada por r^{2}=\cos 2\theta, com duas folhas simétricas ao longo do eixo x; folha direita traçada por \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\big] com r(\theta)=\sqrt{\cos 2\theta} (atinge r=1 em \theta=0 e r=0 em \theta=\pm\tfrac{\pi}{4}), e folha esquerda traçada por \theta\in\big[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\big] (atinge (-1,0)). Cartesianamente: \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}=x^{2}-y^{2}.

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