Determine, para cada uma das hipérboles:
(I) x^{2}-4 y^{2}+16=0,
(II) x^{2}-y^{2}=4,
(III) \frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1,
(IV) \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}=1,
(a) a medida ( a e b ) dos semi-eixos;
(b) os vértices A_{1} e A_{2};
(c) os focos F_{1} e F_{2};
(d) a excentricidade;
(e) as equações das assíntotas { }^{1};
(f) o esboço do gráfico, indicando todos os elementos importantes.

Passo 1

O enunciado pede determinar, para cada uma das hipérboles (I) x^{2}-4y^{2}+16=0, (II) x^{2}-y^{2}=4, (III) \frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1 e (IV) \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}=1:
(a) os semi-eixos a e b;
(b) os vértices A_{1},A_{2};
(c) os focos F_{1},F_{2};
(d) a excentricidade e;
(e) as equações das assíntotas;
(f) o esboço do gráfico com todos esses elementos.
Conteúdo: hipérboles no plano, forma canônica, parâmetros a,b,c, definição de excentricidade, vértices, focos, assíntotas e esboço.

Passo 2

Uma hipérbole centrada na origem pode ser escrita em duas formas canônicas:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad\text{(transversal horizontal)},
ou
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \quad\text{(transversal vertical)}.
Nessas formas vale:
c^{2}=a^{2}+b^{2},\qquad e=\frac{c}{a}.
Os vértices estão em (\pm a,0) na primeira forma e em (0,\pm a) na segunda.
Os focos estão em (\pm c,0) ou (0,\pm c) conforme o eixo transversal.
As assíntotas valem
y=\pm\frac{b}{a}\,x
no caso horizontal e
y=\pm\frac{a}{b}\,x
no caso vertical.

Passo 3

Hipérbole (I): x^{2}-4y^{2}+16=0. Reescrevendo,
x^{2}-4y^{2}= -16 \;\Longleftrightarrow\; 4y^{2}-x^{2}=16 \;\Longleftrightarrow\; \frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{16}=1.
É do tipo vertical com a^{2}=4,\;b^{2}=16.
Logo a=2,\;b=4.
Calcula-se
c^{2}=a^{2}+b^{2}=4+16=20,\quad c=\sqrt{20}=2\sqrt5, \quad e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt5}{2}=\sqrt5.
Vértices: A_{1}=(0,2), A_{2}=(0,-2).
Focos: F_{1}=(0,2\sqrt5), F_{2}=(0,-2\sqrt5).
Assíntotas:
y=\pm\frac{a}{b}\,x=\pm\frac{2}{4}x=\pm\frac{x}{2}.
Esboço: dois ramos abertos para cima e para baixo, centros em (0,0), vértices em (0,\pm2), focos em (0,\pm2\sqrt5) e assíntotas y=\pm x/2.

Passo 4

Hipérbole (II): x^{2}-y^{2}=4. Já está na forma
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1
horizontal, com a^{2}=4,\;b^{2}=4.
Logo a=2,\;b=2,
c^{2}=4+4=8,\quad c=2\sqrt2,\quad e=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2.
Vértices: A_{1}=(2,0), A_{2}=(-2,0).
Focos: F_{1}=(2\sqrt2,0), F_{2}=(-2\sqrt2,0).
Assíntotas:
y=\pm\frac{b}{a}\,x=\pm\frac{2}{2}x=\pm x.
Esboço: ramos à direita e à esquerda, centro na origem, vértices (\pm2,0), focos (\pm2\sqrt2,0), assíntotas y=\pm x.

Passo 5

Hipérbole (III): \frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1. É horizontal com
a^{2}=100,\;b^{2}=64\;\Longrightarrow\;a=10,\;b=8,
c^{2}=100+64=164,\;c=\sqrt{164}=2\sqrt{41},\; e=\frac{2\sqrt{41}}{10}=\frac{\sqrt{41}}{5}.
Vértices: A_{1}=(10,0), A_{2}=(-10,0).
Focos: F_{1}=(2\sqrt{41},0), F_{2}=(-2\sqrt{41},0).
Assíntotas:
y=\pm\frac{b}{a}\,x=\pm\frac{8}{10}x=\pm\frac{4}{5}x.
Esboço: ramos horizontais, vértices em (\pm10,0), focos em (\pm2\sqrt{41},0), assíntotas y=\pm\frac{4}{5}x.

Passo 6

Hipérbole (IV): \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}=1. É horizontal com
a^{2}=64,\;b^{2}=100\;\Longrightarrow\;a=8,\;b=10,
c^{2}=64+100=164,\;c=2\sqrt{41},\; e=\frac{2\sqrt{41}}{8}=\frac{\sqrt{41}}{4}.
Vértices: A_{1}=(8,0), A_{2}=(-8,0).
Focos: F_{1}=(2\sqrt{41},0), F_{2}=(-2\sqrt{41},0).
Assíntotas:
y=\pm\frac{b}{a}\,x=\pm\frac{10}{8}x=\pm\frac{5}{4}x.
Esboço: ramos horizontais com vértices em (\pm8,0), focos em (\pm2\sqrt{41},0) e assíntotas y=\pm\tfrac{5}{4}x.

Resposta

(I) a=2, b=4; A_{1}=(0,2), A_{2}=(0,-2); F_{1}=(0,2\sqrt5), F_{2}=(0,-2\sqrt5); e=\sqrt5; assíntotas y=\pm x/2.
(II) a=2, b=2; A_{1}=(2,0), A_{2}=(-2,0); F_{1}=(2\sqrt2,0), F_{2}=(-2\sqrt2,0); e=\sqrt2; assíntotas y=\pm x.
(III) a=10, b=8; A_{1}=(10,0), A_{2}=(-10,0); F_{1}=(2\sqrt{41},0), F_{2}=(-2\sqrt{41},0); e=\sqrt{41}/5; assíntotas y=\pm\frac{4}{5}x.
(IV) a=8, b=10; A_{1}=(8,0), A_{2}=(-8,0); F_{1}=(2\sqrt{41},0), F_{2}=(-2\sqrt{41},0); e=\sqrt{41}/4; assíntotas y=\pm\frac{5}{4}x.

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