Encontre a equação reduzida, em coordenadas cartesianas, de uma hipérbole de centro FORA da origem e eixo real sobre o eixo dos x.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação reduzida, em coordenadas cartesianas, de uma hipérbole cujo centro está fora da origem e cujo eixo real (transversal) está sobre o eixo dos x.
Informações dadas (explicitadas):
\bullet A curva é uma hipérbole.
\bullet O centro da hipérbole não é a origem; vamos chamá‑lo de (h,k) com \,h,k\in\mathbb{R}\,.
\bullet O eixo real (transversal) está paralelo ao eixo x (ou seja, a hipérbole tem ramos “abertos” para a direita e esquerda).
O que precisamos fornecer: a forma reduzida (forma canônica) da equação cartesiana dessa hipérbole, escrita usando parâmetros que descrevam centro e tamanhos dos eixos.

Passo 2

Primeiro lembro a forma reduzida da hipérbole quando o centro está na origem e o eixo real é o eixo x. Essa forma é a “forma padrão” que a maioria das hipérboles com eixo em x tem:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Explicando cada símbolo (pra você entender bem): a>0 é o semieixo transverso (a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo x), b>0 é o semieixo conjugado (relacionado à abertura da hipérbole na direção perpendicular), e as vértices, no caso da origem, ficam em (\pm a,0). Para essa hipérbole centrada na origem, os focos estão em (\pm c,0) onde
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
As assimptotas (no caso centrado na origem) são as retas
y=\pm\frac{b}{a}\,x.

Passo 3

Agora, quando o centro não está na origem mas em (h,k), a maneira prática de obter a forma reduzida é fazer uma tradução de coordenadas: trabalhar com as coordenadas relativas ao centro. Ou seja, definimos coordenadas locais
X=x-h,\qquad Y=y-k,
onde (X,Y) são as coordenadas em relação ao centro (h,k). Substituindo x=X+h e y=Y+k na forma centrada na origem, obtemos a forma centrada em (h,k). Fazendo isso obtemos a equação
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1.
Expliquei a tradução porque, na prova, é assim que você passa da forma conhecida (centro na origem) para o caso deslocado: substitui x por x-h e y por y-k.

Passo 4

Complementando a interpretação: nessa equação deslocada os parâmetros mantêm o mesmo significado relativo ao novo centro (h,k):
\bullet Vértices: (h\pm a,\,k).
\bullet Focos: (h\pm c,\,k) com \;c^{2}=a^{2}+b^{2}.
\bullet Assimptotas: retas dadas por
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Observação prática para prova: se o enunciado der uma equação geral do 2º grau sem termo misto xy (isto é, algo como Ax^{2}+Dx+Cy^{2}+Ey+F=0 com A e C de sinais opostos), você pode agrupar termos em x e em y, dividir por uma constante conveniente e completar quadrados para chegar à forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1. Exemplo rápido (para fixar): se aparecer
9x^{2}-16y^{2}-36x+64y-100=0,
faça agrupamento e complete quadrados:
9(x^{2}-4x)-16(y^{2}-4y)-100=0,
9\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)-16\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)-100=0,
9(x-2)^{2}-16(y-2)^{2}-72=0,
9(x-2)^{2}-16(y-2)^{2}=72,
dividindo por 72:
\frac{(x-2)^{2}}{8}-\frac{(y-2)^{2}}{9/2}=1,
que é da forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 com h=2,\;k=2,\;a^{2}=8,\;b^{2}=9/2. Isso mostra na prática como transformar uma equação geral na forma reduzida pedida.

Passo 5

Resumo prático e dica de prova: a forma reduzida pedida (hipérbole com centro em (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x) é simplesmente a forma centrada na origem com x e y substituídos por x-h e y-k. Guarde também as fórmulas de vértices, focos e assimptotas para responder questões extras facilmente.

Resposta

\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1

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