Encontre a equação reduzida, em coordenadas cartesianas, de uma hipérbole de centro FORA da origem e eixo real sobre o eixo dos
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação reduzida, em coordenadas cartesianas, de uma hipérbole cujo centro está fora da origem e cujo eixo real (transversal) está sobre o eixo dos
.
Informações dadas (explicitadas):
A curva é uma hipérbole.
O centro da hipérbole não é a origem; vamos chamá‑lo de
com
.
O eixo real (transversal) está paralelo ao eixo
(ou seja, a hipérbole tem ramos “abertos” para a direita e esquerda).
O que precisamos fornecer: a forma reduzida (forma canônica) da equação cartesiana dessa hipérbole, escrita usando parâmetros que descrevam centro e tamanhos dos eixos.
Informações dadas (explicitadas):
O que precisamos fornecer: a forma reduzida (forma canônica) da equação cartesiana dessa hipérbole, escrita usando parâmetros que descrevam centro e tamanhos dos eixos.
Passo 2
Primeiro lembro a forma reduzida da hipérbole quando o centro está na origem e o eixo real é o eixo
. Essa forma é a “forma padrão” que a maioria das hipérboles com eixo em
tem:
Explicando cada símbolo (pra você entender bem):
é o semieixo transverso (a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo
),
é o semieixo conjugado (relacionado à abertura da hipérbole na direção perpendicular), e as vértices, no caso da origem, ficam em
. Para essa hipérbole centrada na origem, os focos estão em
onde
As assimptotas (no caso centrado na origem) são as retas
Passo 3
Agora, quando o centro não está na origem mas em
, a maneira prática de obter a forma reduzida é fazer uma tradução de coordenadas: trabalhar com as coordenadas relativas ao centro. Ou seja, definimos coordenadas locais
onde
são as coordenadas em relação ao centro
. Substituindo
e
na forma centrada na origem, obtemos a forma centrada em
. Fazendo isso obtemos a equação
Expliquei a tradução porque, na prova, é assim que você passa da forma conhecida (centro na origem) para o caso deslocado: substitui
por
e
por
.
Passo 4
Complementando a interpretação: nessa equação deslocada os parâmetros mantêm o mesmo significado relativo ao novo centro
:
Vértices:
.
Focos:
com
.
Assimptotas: retas dadas por
Observação prática para prova: se o enunciado der uma equação geral do 2º grau sem termo misto
(isto é, algo como
com
e
de sinais opostos), você pode agrupar termos em
e em
, dividir por uma constante conveniente e completar quadrados para chegar à forma
. Exemplo rápido (para fixar): se aparecer
faça agrupamento e complete quadrados:
dividindo por
:
que é da forma
com
. Isso mostra na prática como transformar uma equação geral na forma reduzida pedida.
Passo 5
Resumo prático e dica de prova: a forma reduzida pedida (hipérbole com centro em
e eixo real paralelo ao eixo
) é simplesmente a forma centrada na origem com
e
substituídos por
e
. Guarde também as fórmulas de vértices, focos e assimptotas para responder questões extras facilmente.