Encontre a equação reduzida, em coordenadas cartesianas, de uma hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo dos y.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação reduzida, em coordenadas cartesianas, de uma hipérbole que tem centro na origem e cujo eixo real (eixo transitório) está sobre o eixo dos y.\n
Informações dadas:
A hipérbole tem centro em (0,0).
O eixo real (o eixo que contém os vértices) coincide com o eixo dos y.
Queremos a forma reduzida (forma canônica) da equação em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Ideia geral e simetria (explicação didática):\n
Uma hipérbole centrada na origem e alinhada com os eixos coordenados tem equação com termos em x^2 e y^2 (sem termos mistos xy), e é simétrica em relação aos eixos. Se o eixo real está sobre o eixo dos y, os ramos da hipérbole abrem para cima e para baixo (ou seja, ao longo do eixo y). Nesse caso o termo positivo na equação reduzida deve envolver y^2, porque quando x=0 queremos que y=\pm a sejam os vértices. Portanto a forma padrão a considerar é
\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,
onde a>0 e b>0 são constantes que definem o tamanho da hipérbole. Vou agora justificar e derivar essa forma a partir da definição clássica da hipérbole.
Passo 3
Definição por focos e escrever a equação de distância:\n
Por definição, uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos fixos é constante e igual a 2a. Como o eixo real está sobre o eixo y, os focos estão em (0,c) e (0,-c) para algum c>0. Para um ponto genérico (x,y) escrevemos as distâncias aos focos:
Chame S=x^2+y^2+c^2 para simplificar a escrita; a igualdade fica
S^2-4c^2y^2=(S-2a^2)^2=S^2-4a^2S+4a^4.
Cancelando S^2 em ambos os lados e rearranjando:
-4c^2y^2=-4a^2S+4a^4.
Dividindo por -4:
c^2y^2=a^2S-a^4=a^2\bigl(x^2+y^2+c^2-a^2\bigr).
Passo 6
Obter a forma reduzida (isolando em termos de x^2 e y^2):\n
Continuando a manipulação, escrevemos
c^2y^2=a^2x^2+a^2y^2+a^2c^2-a^4.
Colocando todos os termos num mesmo lado e agrupando:
y^2(c^2-a^2)-a^2x^2-a^2c^2+a^4=0.
Reescrevendo:
(c^2-a^2)(y^2-a^2)=a^2x^2.
Dividindo ambos os lados por a^2(c^2-a^2) (observe que c^2-a^2>0 para hipérbole):
\frac{y^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{c^2-a^2}.
Finalmente:
\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{c^2-a^2}=1.
Se definirmos b^2=c^2-a^2, obtemos a forma padrão desejada.
Passo 7
Interpretação dos parâmetros e relações importantes:\n
A equação reduzida obtida é
\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,
onde a>0, b>0 e os focos estão em (0,\pm c) com
c^2=a^2+b^2.
Significado dos parâmetros:
a é o semi-eixo real (distância do centro ao vértice sobre o eixo y); os vértices são (0,\pm a).
b é o semi-eixo conjugado (distância associada à construção da caixa que gera as assíntotas); os “pontos da caixa” são (\pm b,\pm a).
c é a distância do centro até cada foco, com c=\sqrt{a^2+b^2}.
As assíntotas da hipérbole são as retas
y=\pm\frac{a}{b}\,x,
o que se vê fazendo x grande na equação (os termos constantes passam a ser desprezíveis).
Passo 8
Resumo final e incentivo:\n
Pronto — chegamos à forma reduzida e também vimos o significado de cada parâmetro e a relação entre eles. Sei que isso pode parecer muita conta, mas a ideia-chave para a prova é memorizar a forma padrão e a relação entre a, b e c. Você já domina a estrutura: quando a hipérbole abre ao longo do eixo y a forma é com y^2 positiva primeiro, como apresentado. Vamos que dá para fixar isso rapidinho!