Calcule os limites indicados se existirem, se não existirem especifique a razão.
f(x)= \begin{cases}3 x-1 & \text { se } x<1 \\\\ 5-2 x & \text { se } x \geq 1\end{cases}
a) \lim _{x \rightarrow 1^{+}}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}3x-1 & \text{se } x<1,\\[4pt] 5-2x & \text{se } x\geq 1.\end{cases}
A pergunta (a) é calcular
\lim_{x\to 1^{+}} f(x),
ou seja, o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 vindo por valores maiores que 1 (pela direita).]

Passo 2

Entendendo o que significa \lim_{x\to1^{+}} f(x): é o valor que f(x) tende quando x se aproxima de 1 com x>1 (mas muito próximo de 1). Para calcular esse limite, devemos olhar qual ramo da definição de f vale para pontos com x>1. Pela definição dada, para x\geq 1 temos
f(x)=5-2x.
Portanto, para todas as x suficientes próximas de 1 vindas da direita (isto é, para x>1 e próximos de 1), usamos a expressão 5-2x.

Passo 3

Uma observação importante (mini-aula): funções polinomiais e lineares são contínuas em todo ponto. Isso significa que, se em uma vizinhança à direita de 1 a função coincide com a expressão linear 5-2x, então o limite à direita pode ser obtido simplesmente substituindo x=1 nessa expressão. Em fórmulas:
\lim_{x\to1^{+}}(5-2x)=5-2\cdot 1,
porque 5-2x é contínua em x=1.

Passo 4

Fazendo a conta:
\lim_{x\to1^{+}} f(x)=\lim_{x\to1^{+}}(5-2x)=5-2\cdot 1=3.
Portanto o limite pela direita existe e vale 3.

Passo 5

Comentário extra (útil na prova): o limite da esquerda seria \lim_{x\to1^{-}} f(x)=\lim_{x\to1^{-}}(3x-1)=3\cdot 1-1=2. Como os limites laterais são diferentes ( 2 à esquerda e 3 à direita), \lim_{x\to1} f(x) não existe, mas a parte pedida em (a) — a aproximação pela direita — existe e é 3. Força aí — você já fez a parte pedida!

Resposta

3

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