Encontre a equação da reta r que passa pelo ponto A=(1,0,1) e é paralela aos planos 2 x+3 y+z=1 e x-y+z=0

Passo 1

O enunciado pede a reta r que passa por A=(1,0,1) e é paralela aos planos
2x+3y+z=1
e
x-y+z=0
Para que uma reta seja paralela a um plano, seu vetor diretor deve ser ortogonal ao vetor normal desse plano. Logo, se chamarmos
n1=(2,3,1) o normal do primeiro plano e
n2=(1,-1,1) o normal do segundo plano, então o vetor diretor v da reta deve satisfazer
n1cdot v=0 e n2cdot v=0
Para resolver, vamos calcular v como o produto vetorial de n1 e n2.

Passo 2

Escrevendo os normais:
n1 = (2,3,1), n2 = (1,-1,1)

Passo 3

O vetor diretor v é
v = n1 times n2 = i & j & k 2 & 3 & 1 1 & -1 & 1 = i(3cdot1 - 1cdot(-1)) - j(2cdot1 - 1cdot1) + k(2cdot(-1) - 3cdot1)
Isso dá
v = (3+1,,-(2-1),,-2-3) = (4,-1,-5)

Passo 4

Agora escrevemos a equação paramétrica da reta com ponto A=(1,0,1) e vetor diretor v=(4,-1,-5):
x = 1 + 4t, y = 0 - t, z = 1 - 5t

Resposta

A equação da reta é
boxed x = 1 + 4t, y = -,t, z = 1 - 5t

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