Quais dos subconjuntos são Subespaços Vetoriais de V ?
W=(x, y) in R^2 mid x+y=0, V=R^2

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = R^2 e o subconjunto
W = (x,y)inR^2 mid x+y=0
Pergunta-se se W é subespaço vetorial de V. Para isso, vamos usar o critério padrão:
  1. Verificar se o vetor zero está em W.
  2. Verificar se W é fechado sob soma.
  3. Verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) está em W. Como
0 + 0 = 0,
temos (0,0)in W. Logo, W é não-vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam (x1,y1) e (x2,y2) dois vetores de W. Então
x1 + y1 = 0 e x2 + y2 = 0
Somando as igualdades,
(x1 + x2) + (y1 + y2) = 0 + 0 = 0,
logo (x1+x2,,y1+y2)in W. Isso prova que W é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja alphainR e (x,y)in W. Como x+y=0, temos
alpha x + alpha y = alpha,(x+y) = alphacdot 0 = 0,
portanto alpha(x,y) = (alpha x,alpha y)in W. Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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