Encontre a equação da reta simétrica à reta r em relação ao plano pi em cada um dos casos abaixo.
r:lx-2 y=4 3 y+z=-8 e pi: x-y+z=0

Passo 1

O enunciado pede a reta simétrica à reta r em relação ao plano pi. O conteúdo é reflexão em um plano: vamos obter o vetor diretor de r, um ponto qualquer de r e o vetor normal de pi, e aplicar as fórmulas de reflexão de vetor e de ponto.

Passo 2

Parametrizamos
fazemos é
Aqui o vetor diretor de é e um ponto em é .

Passo 3

O plano pi tem equação x-y+z=0, logo seu vetor normal é n=(1,-1,1). A norma ao quadrado é
ncdot n=1^2+(-1)^2+1^2=3

Passo 4

Refletimos o vetor diretor v. A fórmula é
v'= v-2 vcdot n ncdot n, n
Calculamos
vcdot n=2cdot1+1cdot(-1)+(-3)cdot1=-2,
logo
v'=(2,1,-3)-2-23(1,-1,1) =(2,1,-3)+43(1,-1,1) =l(tfrac103,-tfrac13,-tfrac53r)
Podemos usar como vetor diretor da reta refletida ;(10,-1,-5), que é apenas v' multiplicado por 3.

Passo 5

Agora refletimos o ponto A=(4,0,-8). A equação do plano é ncdot x+0=0, então
ncdot A=DA=1cdot4+(-1)cdot0+1cdot(-8)=-4
A fórmula de reflexão do ponto é
A'=A-2DA ncdot n, n =(4,0,-8)-2-43(1,-1,1) =(4,0,-8)+tfrac83(1,-1,1)
Fica
A'=l(4+tfrac83,;0-tfrac83,;-8+tfrac83r) =l(tfrac203,-tfrac83,-tfrac163r)

Passo 6

Com o ponto A' e o vetor diretor (10,-1,-5), a reta simétrica r' tem parametrização
(x,y,z)=l(tfrac203,-tfrac83,-tfrac163r)+lambda,(10,-1,-5)

Resposta

r':;(x,y,z)=l(tfrac203,-tfrac83,-tfrac163r)+lambda,(10,-1,-5)

Exercícios relacionados