Encontre a equação da reta simétrica à reta em relação ao plano em cada um dos casos abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para refletir a reta
r: x=1+2t, y=-2+7t, z=-2+5t
em relação ao plano
pi: x - y + z = 1
O conteúdo usado será a reflexão de pontos e vetores em torno de um plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r e a normal de pi:
vec v = (2,,7,,5), vec n = (1,,-1,,1)
Para refletir a direção basta usar
vec v' = vec v ;-;2,vec ncdotvec v|vec n|^2,vec n
Como
vec ncdotvec v = 1cdot2 + (-1)cdot7 + 1cdot5 = 2 -7 +5 = 0,
segue que vec v'=vec v. Ou seja, vec v é paralelo ao plano e não muda.

Passo 3

Escolhemos um ponto da reta, por exemplo t=0:
P=(1,,-2,,-2)
Para refletir P usamos
P' = P ;-;2,vec ncdot P - 1|vec n|^2,vec n,
onde o “ -1” vem do termo independente do plano. Calculamos
vec ncdot P -1 = (1cdot1)+(-1)cdot(-2)+(1)cdot(-2);-;1 = 1+2-2-1 = 0
Logo P'!=!P, ou seja, P já está em pi.

Passo 4

Como a reta r tem um ponto em pi e direção paralela a pi, ela inteiramente está em pi. A reflexão de uma reta contida no plano é ela mesma.

Resposta

A reta simétrica é exatamente
x=1+2t, y=-2+7t, z=-2+5t,
isto é, r permanece inalterada.

Exercícios relacionados