Para que valores de m e k a equação m x^2+y^2+4 x-6 y+k=0 representa uma circunferência?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
m,x^2+y^2+4x-6y+k=0
e pergunta para quais valores de m e k isso representa uma circunferência.
Para uma cônica ser circunferência, devem valer:
  1. Não haver termo em xy. (Aqui já não há.)
  2. Os coeficientes de x^2 e de y^2 serem iguais e não nulos.
  3. O raio obtido ao completar o quadrado ser real e positivo.

Passo 2

Igualando os coeficientes de x^2 e de y^2, temos
m=1,
e também exigimos mneq0, o que aqui se satisfaz.

Passo 3

Substituindo m=1, a equação fica
x^2+y^2+4x-6y+k=0

Passo 4

Vamos completar o quadrado nos termos em x e em y:
x^2+4x=(x+2)^2-4, y^2-6y=(y-3)^2-9
Logo a equação vira
(x+2)^2-4+(y-3)^2-9+k=0 Longrightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=13-k

Passo 5

Para termos uma circunferência não degenerada, o raio ao quadrado deve ser positivo:
13-k>0 Longrightarrow k<13

Resposta

m=1 e k<13.

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