Encontre a equação da reta simétrica à reta em relação ao plano em cada um dos casos abaixo.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: x=1+t, y=-2-t, z=-1+t,
e o plano
pi: x - y + z = 2
Queremos a reta simétrica a r em relação a pi. Para isso, basta refletir o vetor diretor de r e um ponto de r em relação ao plano.

Passo 2

O vetor diretor de r é
v = (1,,-1,,1)
O vetor normal ao plano pi é
n = (1,,-1,,1)
Para refletir v em pi usamos
v' = v - 2,vcdot nncdot n,n
Aqui vcdot n = 1cdot1 + (-1)(-1) + 1cdot1 = 3 e ncdot n = 1^2+(-1)^2+1^2 = 3. Logo
v' = (1,-1,1) - 2cdot33,(1,-1,1) = (1,-1,1) - 2,(1,-1,1) = (-1,1,-1)

Passo 3

Escolhemos o ponto de parâmetro t=0 em r, isto é
P = (1,,-2,,-1)
Para refletir P em pi aplicamos
P' = P - 2,A x0 + B y0 + C z0 - DA^2+B^2+C^2,n,
onde A=1, B=-1, C=1, D=2 e (x0,y0,z0)=(1,-2,-1). Calcula-se
A x0 + B y0 + C z0 - D = 1cdot1 + (-1)(-2) + 1cdot(-1) - 2 = 0,
logo P'!=P=(1,-2,-1) pois P já está em pi.

Passo 4

A reta simétrica r' passa por P'=(1,-2,-1) e tem vetor diretor v'=(-1,1,-1). Assim, em forma paramétrica:
r': x = 1 - s, y = -2 + s, z = -1 - s

Resposta

r': x = 1 - s, y = -2 + s, z = -1 - s

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