Exercício 9 (Desafio). Considere os vetores v=(2,-3,6) e u=(1,-1,2). Calcule as coordenadas dos vetor w sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores u e v, sabendo-se que |w|=3 raiz42.
DICA: trabalhe com os versores de u e v.
OBSERVAÇÃO: A bissetriz de ângulo não nulo e não raso é uma semirreta com origem no vértice do ângulo, e contida em seu interior, que divide esse ângulo em dois ângulos iguais.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
vec u=(1,-1,2), vec v=(2,-3,6)
e pede um vetor vec w que esteja sobre a bissetriz interna do ângulo ang<=(vec u,vec v) e tenha norma |vec w|=3raiz42.
Conteúdo: vetores, versores (unitários), bissetriz de ângulo e normalização de vetor.

Passo 2

Calcule as normas e os versores de vec u e vec v:
|vec u|=raiz1^2+(-1)^2+2^2=raiz6, |vec v|=raiz2^2+(-3)^2+6^2=7
hat u=vec u|vec u|=l(1raiz6,-1raiz6,2raiz6r), hat v=vec v|vec v|=l(27,-37,67r)

Passo 3

A direção da bissetriz interna é dada por
vec d=hat u+hat v
Para obter vec w com norma 3raiz42 basta normalizar vec d e multiplicar pela norma desejada:
vec w = 3raiz42,vec d|vec d|

Passo 4

Calcule |vec d|. Primeiro a soma:
vec d=l(tfrac1raiz6+tfrac27,,-tfrac1raiz6-tfrac37,;tfrac2raiz6+tfrac67r)
Em seguida use
|vec d|^2 =vec dcdotvec d =2+2vec ucdotvec v|vec u||vec v|,
onde
vec ucdotvec v =1cdot2+(-1)(-3)+2cdot6=17, |vec u||vec v|=7raiz6,
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|vec d|^2=2+2177raiz6 =42+17raiz621, |vec d|=raiz42+17raiz621

Passo 5

Substituindo em vec w=3raiz42,dfracvec d|vec d|, obtemos as coordenadas de vec w. Uma forma explícita é
vec w =3raiz42raiztfrac42+17raiz621 tfrac1raiz6+tfrac27[6pt] -!l(tfrac1raiz6+tfrac37r)[4pt] tfrac2raiz6+tfrac67 ]

Resposta

boxed vec w =3raiz42raiz42+17raiz621 dfrac1raiz6+dfrac27[6pt] -!l(dfrac1raiz6+dfrac37r)[4pt] dfrac2raiz6+dfrac67 ,
que de fato tem |vec w|=3raiz42 e pertence à bissetriz interna entre vec u e vec v.
]

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