Encontre a equação da reta tangenta a curva dada no ponto dado para:
f(x)=x^{3}+2 x^{2}-4 x no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,-1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva f(x)=x^3+2x^2-4x no ponto (x_0,y_0)=(1,-1). Para isso, precisamos calcular a derivada f'(x) para obter a inclinação da reta e depois usar a fórmula ponto-inclinação da reta tangente.

Passo 2

Calcular a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^3+2x^2-4x\bigr) =3x^2+4x-4.

Passo 3

Avaliar a derivada em x_0=1:
f'(1)=3\cdot1^2+4\cdot1-4=3+4-4=3.
Portanto a inclinação da reta tangente é m=3.

Passo 4

Usar a fórmula da reta tangente em ponto:
y - y_0 = m\,(x - x_0),
substituindo m=3, x_0=1 e y_0=-1, obtemos
y + 1 = 3(x - 1).

Passo 5

Simplificar a equação:
y + 1 = 3x - 3
y = 3x - 4.

Resposta

y = 3x - 4

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