Encontre a equação da reta tangenta a curva dada no ponto dado para:
f(x)=x^{4}-4 x no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^4-4x e pede a equação da reta tangente a essa curva no ponto \bigl(x_0,y_0\bigr)=(0,0). Para isso, vamos usar o conceito de derivada, já que a derivada em x_0 nos fornece o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=x^4-4x, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^4\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr) =4x^3-4.

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente é m=f'(x_0). Como x_0=0,
m=f'(0)=4\cdot0^3-4=-4.

Passo 4

Usamos a fórmula ponto‐declive da reta tangente:
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Substituindo y_0=0, x_0=0 e m=-4, obtemos
y - 0 = -4\,(x - 0),
logo a reta é
y=-4x.

Resposta

y=-4x

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