Encontre a equação da reta tangenta a curva dada no ponto dado para:
f(x)=-x^{3}+4 x^{2}-7 x+8, \quad\left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,4)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x^{3} + 4x^{2} - 7x + 8
e o ponto (x_{0},y_{0})=(1,4). Queremos a reta tangente à curva nesse ponto. Para isso, vamos precisar da derivada de f (que fornece o coeficiente angular da reta) e depois aplicar a fórmula ponto-inclinação.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{3} + 4x^{2} - 7x + 8\bigr) = -3x^{2} + 8x - 7.

Passo 3

Avaliamo-la em x_{0}=1 para obter o coeficiente angular m:
m = f'(1) = -3\cdot1^{2} + 8\cdot1 - 7 = -3 + 8 - 7 = -2.

Passo 4

Usamos a fórmula da reta tangente em forma ponto-inclinação:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=4 e m=-2, temos
y - 4 = -2\,(x - 1).
Para simplificar,
y - 4 = -2x + 2 \quad\Longrightarrow\quad y = -2x + 6.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -2x + 6.

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