Calcule usando a definição de limite a derivada f^{\prime}(x), para as seguintes funções:
f(x)=\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}}
usando a definição de derivada por limite de quociente de diferença. Para isso vamos precisar lembrar a fatoração da diferença de raízes cúbicas
a^{1/3}-b^{1/3} = \frac{a-b}{a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}},
além de fazer as expansões em série de potências até cancelar o h.

Passo 2

Pela definição,
f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^{3}+(x+h)^{2}}-\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}}}{h}.

Passo 3

Chamemos
a=(x+h)^{3}+(x+h)^{2}, \quad b=x^{3}+x^{2}.
Então
\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} = \frac{a-b}{a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}}.
Logo o quociente torna-se
\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}{h} = \frac{a-b}{h\bigl(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}\bigr)}.

Passo 4

Vamos calcular a-b:
a-b = \bigl((x+h)^{3}-x^{3}\bigr) + \bigl((x+h)^{2}-x^{2}\bigr).
Expandindo,
(x+h)^{3}-x^{3} =3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}, \quad (x+h)^{2}-x^{2} =2xh+h^{2}.
Somando,
a-b =h\bigl(3x^{2}+3xh+h^{2}+2x+h\bigr).

Passo 5

Substituindo em \frac{a-b}{h(\cdots)} obtemos
\frac{a-b}{h\bigl(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}\bigr)} = \frac{3x^{2}+3xh+h^{2}+2x+h}{a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}}.
Logo
f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{3x^{2}+3xh+h^{2}+2x+h}{\bigl((x+h)^{3}+(x+h)^{2}\bigr)^{2/3} + \bigl((x+h)^{3}+(x+h)^{2}\bigr)^{1/3}\,(x^{3}+x^{2})^{1/3} +(x^{3}+x^{2})^{2/3}}.

Passo 6

Quando h\to0 temos (x+h)^{3}+(x+h)^{2}\to x^{3}+x^{2}. Portanto o numerador tende a
3x^{2}+2x
e cada termo do denominador tende a (x^{3}+x^{2})^{2/3}. Há três termos iguais, então o denominador tende a
3\,(x^{3}+x^{2})^{2/3}.
Assim
f'(x) = \frac{3x^{2}+2x}{3\,(x^{3}+x^{2})^{2/3}}.

Passo 7

Podemos ainda escrever x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1), ficando
f'(x) = \frac{3x^{2}+2x}{3\,[x^{2}(x+1)]^{2/3}} = \frac{3x+2}{3\,x^{1/3}(x+1)^{2/3}}.

Resposta

f'(x) = \frac{3x^{2}+2x}{3\,(x^{3}+x^{2})^{2/3}} \quad\text{ou}\quad f'(x) = \frac{3x+2}{3\,x^{1/3}(x+1)^{2/3}}.

Exercícios relacionados