Calcule usando a definição de limite a derivada
, para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a derivada de
usando a definição de derivada por limite de quociente de diferença. Para isso vamos precisar lembrar a fatoração da diferença de raízes cúbicas
além de fazer as expansões em série de potências até cancelar o
.
Passo 2
Pela definição,
Passo 3
Chamemos
Então
Logo o quociente torna-se
Passo 4
Vamos calcular
:
Expandindo,
Somando,
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Logo
Passo 6
Quando
temos
. Portanto o numerador tende a
e cada termo do denominador tende a
. Há três termos iguais, então o denominador tende a
Assim
Passo 7
Podemos ainda escrever
, ficando