Encontre a equação da reta tangenta a curva dada no ponto dado para:
f(x)=4 x^{3}-x^{2}-2 x no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva f(x)=4x^3 - x^2 - 2x no ponto (x_0,y_0)=(1,1). Vamos usar derivada para obter o coeficiente angular e depois a fórmula da reta na forma ponto-declive.

Passo 2

Calcular a derivada de f: usar regra do poder em cada termo.
f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(2x) = 12x^2 - 2x - 2.

Passo 3

Avaliar a derivada em x=1 para obter a inclinação m:
m = f'(1) = 12\cdot1^2 - 2\cdot1 - 2 = 12 - 2 - 2 = 8.

Passo 4

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive:
y - y_0 = m(x - x_0).
Substituindo m=8, x_0=1 e y_0=1, fica
y - 1 = 8(x - 1).

Passo 5

Simplificar a equação para a forma y=mx+b:
y - 1 = 8x - 8 \quad\Longrightarrow\quad y = 8x - 7.

Resposta

A equação da reta tangente é y = 8x - 7.

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