Encontre a equação da reta tangente nos casos abaixo:
f(x)=3x no ponto (3, f(3))

Passo 1

Beleza! A gente vai encontrar a equação da reta tangente à função $ f(x) = \frac{3}{x} $ no ponto $ (3, f(3)) $. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(3) $. Substituindo $ x = 3 $ na função:
f(3)
Então, o ponto de tangência é $ (3, 1) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) = \frac{3}{x} $, que nos dará a inclinação da reta tangente. Relembrando, a derivada de $ f(x) = x^n $ é $ f’(x) = n \cdot x^{n-1} $.

Passo 4

Escrevendo $ f(x) = 3x^{-1} $, a derivada fica:
f(x) = 3x^-1

Passo 5

Agora, calculamos a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 3 $:
x = 3
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -\frac{1}{3} $.

Passo 6

Com a inclinação $ m = -\frac{1}{3} $ e o ponto $ (3, 1) $, usamos a fórmula da equação da reta:
m = -13
Substituindo os valores:
(3, 1)

Passo 7

Vamos simplificar a equação para deixá-la mais clara:
y - 1 = -13x + 1
Somando 1 em ambos os lados:
y = -13x + 2

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = -\frac{1}{3}x + 2 $.

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