Encontre a equação da reta tangente nos casos abaixo:
no ponto
Passo 1
Beleza! A gente vai encontrar a equação da reta tangente à função $ f(x) = \frac{3}{x} $ no ponto $ (3, f(3)) $. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(3) $. Substituindo $ x = 3 $ na função:
Então, o ponto de tangência é $ (3, 1) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) = \frac{3}{x} $, que nos dará a inclinação da reta tangente. Relembrando, a derivada de $ f(x) = x^n $ é $ f’(x) = n \cdot x^{n-1} $.
Passo 4
Escrevendo $ f(x) = 3x^{-1} $, a derivada fica:
Passo 5
Agora, calculamos a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 3 $:
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = -\frac{1}{3} $.
Passo 6
Com a inclinação $ m = -\frac{1}{3} $ e o ponto $ (3, 1) $, usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação para deixá-la mais clara:
Somando 1 em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = -\frac{1}{3}x + 2 $.