) Encontre a equação da reta tangente à circunferência dada por x^{2}+y^{2}=1 no ponto \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) e compare o resultado com o encontrado no exercício 27.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à circunferência definida por
x^{2}+y^{2}=1
no ponto \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}2,\tfrac12\bigr).
Conteúdo: cálculo de reta tangente a curva implícita. Vamos usar derivação implícita para obter y' e depois a forma ponto-declive da reta.

Passo 2

Derivamos implicitamente x^{2}+y^{2}=1 em relação a x, lembrando que y é função de x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=0
2x + 2y\,\frac{dy}{dx}=0
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\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.

Passo 3

Avaliamo \frac{dy}{dx} no ponto \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}2,\tfrac12\bigr):
m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(\frac{\sqrt{3}}2,\frac12\right)} =-\frac{\tfrac{\sqrt{3}}2}{\tfrac12} =-\sqrt{3}.

Passo 4

Usamos a forma ponto-declive da reta tangente:
y - y_{0}=m\,(x - x_{0})
substituindo x_{0}=\tfrac{\sqrt{3}}2, y_{0}=\tfrac12 e m=-\sqrt{3}:
y - \tfrac12 = -\sqrt{3}\,\Bigl(x - \tfrac{\sqrt{3}}2\Bigr).

Passo 5

Podemos também expor em forma explícita:
y = -\sqrt{3}\,x + 2.

Passo 6

Comparando com o exercício 27, vemos que o coeficiente angular e a forma da reta são idênticos ao que lá foi encontrado, logo o resultado confere.

Resposta

A reta tangente é
y - \tfrac12 = -\sqrt{3}\,\Bigl(x - \tfrac{\sqrt{3}}2\Bigr) \quad\text{ou}\quad y = -\sqrt{3}\,x + 2,
que coincide exatamente com o resultado do exercício 27.

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