) Dada a equação da circunferência centrada na origem de raio 2, x^{2}+y^{2}=4, determine:
a.) as duas funções definidas pela equação em função de x.
b.) a derivada \frac{d y}{d x} para cada função encontrada no item anterior.
c.) a derivada \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
d.) a equação das retas tangentes à circunferência nos pontos (1, \pm \sqrt{3}) considerando as derivadas obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a circunferência de centro na origem e raio 2, cuja equação é
x^{2}+y^{2}=4.
Vamos:
– no item (a) isolar y para escrever duas funções y(x);
– no item (b) derivar cada ramo explicitamente;
– no item (c) obter \tfrac{dy}{dx} por derivação implícita de x^{2}+y^{2}=4;
– no item (d) usar essas derivadas para achar as retas tangentes nos pontos \bigl(1,\pm\sqrt{3}\bigr).

Passo 2

Isolando y em x^{2}+y^{2}=4, temos
y^{2}=4 - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm \sqrt{4 - x^{2}}.
Portanto as duas funções são
y_{1}(x)=+\sqrt{4 - x^{2}}, \quad y_{2}(x)=-\sqrt{4 - x^{2}}.

Passo 3

Derivando cada ramo:
Para y_{1}(x)=\sqrt{4 - x^{2}},
\frac{dy_{1}}{dx} =\frac{d}{dx}\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{1/2} =\tfrac12\,(4 - x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x) =-\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}.
Para y_{2}(x)=-\sqrt{4 - x^{2}},
\frac{dy_{2}}{dx} =-\frac{d}{dx}\sqrt{4 - x^{2}} =-\Bigl(-\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\Bigr) =\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}.

Passo 4

Derivação implícita de x^{2}+y^{2}=4:
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.

Passo 5

Nos pontos \bigl(1,\pm\sqrt{3}\bigr)\) a inclinação é \[m = -\frac{x}{y} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} m_{+}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} &\text{em }\bigl(1,\sqrt{3}\bigr),\\[1em] m_{-}=-\dfrac{1}{-\sqrt{3}} =\dfrac{1}{\sqrt{3}} &\text{em }\bigl(1,-\sqrt{3}\bigr). \end{cases}
As retas tangentes usam (y - y_{0} = m(x - x_{0})]:
\text{em }\bigl(1,\sqrt{3}\bigr): \quad y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1),
\text{em }\bigl(1,-\sqrt{3}\bigr): \quad y + \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1).]

Resposta

a) y_{1}(x)=\sqrt{4 - x^{2}},\quad y_{2}(x)=-\sqrt{4 - x^{2}}.
b) \displaystyle \frac{dy_{1}}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}},\quad \frac{dy_{2}}{dx}=\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}.
c) \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.
d) Retas tangentes:
y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1), \quad y + \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1).

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