Encontre uma equação para a reta tangente à curva y=x^4+1 que seja paralela à reta 32 x-y=15.
63. Encontre equações para ambas as retas que são tangentes à curva y=x^3-3 x^2+3 x-3 e que são paralelas à reta 3 x-y=15.

Passo 1

No primeiro problema, pedem a reta tangente à curva
;y = x^4 + 1;
que seja paralela à reta
;32x - y = 15
Para isso precisamos lembrar que a inclinação de uma reta dada por Ax+By+C=0 é ;m = -tfracAB. Como a reta do enunciado pode ser escrita como y = 32x - 15, sua inclinação é m = 32. Já a inclinação da reta tangente à curva em um ponto x é dada pela derivada y'=4x^3. Vamos igualar 4x^3 a 32.

Passo 2

Igualando a derivada ao coeficiente angular desejado, temos
4x^3 = 32
logo
x^3 = 8 Longrightarrow x = 2

Passo 3

Em x=2, o valor de y na curva é
y = 2^4 + 1 = 16 + 1 = 17
Portanto o ponto de tangência é (2,,17).

Passo 4

A reta tangente com inclinação 32 que passa por (2,17) satisfaz
y - 17 = 32,(x - 2)
Simplificando:
y = 32x - 64 + 17 Longrightarrow y = 32x - 47

Passo 5

No segundo problema, queremos as retas tangentes à curva
;y = x^3 - 3x^2 + 3x - 3;
paralelas à reta
;3x - y = 15
Como antes, reescrevemos esta reta como y = 3x -15, indicando inclinação m=3. A derivada da curva é
;y' = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x-1)^2

Passo 6

Para que a tangente tenha inclinação 3, impomos
3(x-1)^2 = 3 Longrightarrow (x-1)^2 = 1 Longrightarrow x-1 = pm1
portanto
x = 2 ou x = 0

Passo 7

Calculamos os pontos de tangência e as respectivas equações:
Para x=2:
y = 2^3 - 3cdot2^2 + 3cdot2 - 3 = 8 -12 +6 -3 = -1,
logo ponto (2,-1) e a reta
y - (-1) = 3,(x - 2) Longrightarrow y = 3x -7

Passo 8

Para x=0:
y = 0^3 - 3cdot0^2 + 3cdot0 - 3 = -3,
logo ponto (0,-3) e a reta
y - (-3) = 3,(x - 0) Longrightarrow y = 3x - 3

Resposta

As duas retas são
y = 3x - 7 e y = 3x - 3

Exercícios relacionados