Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira. Encontre a solução de estado estacionário, se existir.
(a)
Passo 1
O enunciado descreve o PDE de calor em uma barra de comprimento 1 com contorno não homogêneo:
– equação
ut=uxx, 0<x<1,;t>0,
– condições de Dirichlet
u(0,t)=0, u(1,t)=100,
– condição inicial
u(x,0)=100,x(1-x)
O conteúdo envolve encontrar primeiro o estado estacionário (solução independente de t) e depois resolver para o desvio em torno desse estado por séries de Fourier.
Passo 2
Procuramos o estado estacionário v(x) que satisfaz
v''(x)=0, v(0)=0,;v(1)=100
Integrando v''=0 duas vezes e aplicando as condições de contorno, obtemos