Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira. Encontre a solução de estado estacionário, se existir.
(a) llut=ux x & se 0<x<1 e t>0, u(0, t)=0, u(1, t)=100 & se t >= 0, u(x, 0)=100 x(1-x) & se 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado descreve o PDE de calor em uma barra de comprimento 1 com contorno não homogêneo:
– equação
ut=uxx, 0<x<1,;t>0,
– condições de Dirichlet
u(0,t)=0, u(1,t)=100,
– condição inicial
u(x,0)=100,x(1-x)
O conteúdo envolve encontrar primeiro o estado estacionário (solução independente de t) e depois resolver para o desvio em torno desse estado por séries de Fourier.

Passo 2

Procuramos o estado estacionário v(x) que satisfaz
v''(x)=0, v(0)=0,;v(1)=100
Integrando v''=0 duas vezes e aplicando as condições de contorno, obtemos
v(x)=100,x

Passo 3

Definimos o desvio w(x,t)=u(x,t)-v(x). Então
wt=wxx, w(0,t)=0,;w(1,t)=0,
w(x,0)=u(x,0)-v(x)=100,x(1-x)-100,x=-100,x^2
Pela separação de variáveis com senos, escrevemos
w(x,t)=sumn=1^infty Bn,e^-n^2pi^2,t,sin(npi x),
onde
Bn=2integral0^1w(x,0),sin(npi x),dx =-200integral0^1x^2sin(npi x),dx
Calculando por partes, chega-se ao resultado
integral0^1x^2sin(npi x),dx =(-1)^n+1npi +2l((-1)^n-1r)n^3pi^3
Logo
Bn =-200l((-1)^n+1npi +2l((-1)^n-1r)n^3pi^3r) =200(-1)^nnpi -400l((-1)^n-1r)n^3pi^3

Passo 4

Voltando a u, somamos o estado estacionário e o desvio:
u(x,t)=v(x)+w(x,t) =100,x +sumn=1^inftyl[200(-1)^nnpi -400l((-1)^n-1r)n^3pi^3r] e^-n^2pi^2t,sin(npi x)
O estado estacionário final é
uinfty(x)=limttoinftyu(x,t)=100,x

Resposta

A solução geral é
u(x,t)=100,x +sumn=1^inftyl[200(-1)^nnpi -400l((-1)^n-1r)n^3pi^3r] e^-n^2pi^2t,sin(npi x),
e o estado estacionário (quando ttoinfty) é
uinfty(x)=100,x

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