Uma empresa que produz softwares para segurança de imóveis tem como função de custo total C(x)=x^2+5 x+10 e de demanda x=f(p)=100-5 p. É possível determinar o lucro máximo da empresa?

Passo 1

O enunciado dá o custo total da empresa
C(x)=x^2+5x+10
e a demanda
x=f(p)=100-5p.
Queremos determinar o lucro máximo, onde o lucro pi é a receita menos o custo. Para isso vamos:
  1. Expressar a receita em função de x.
  2. Montar pi(x).
  3. Maximizar pi(x) usando derivadas, reconhecendo que é uma parábola côncava.

Passo 2

Da demanda x=100-5p isolamos o preço:
p=100-x5
A receita é R(x)=xcdot p, então
R(x) = xcdot100-x5 =20x-x^25

Passo 3

O lucro é
pi(x)=R(x)-C(x) =l(20x-x^25r)-l(x^2+5x+10r) =-65x^2+15x-10

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos e igualamos a zero:
pi'(x) =-125x+15 Longrightarrow -125x+15=0 Longrightarrow x^*=1512/5=7512=254
Como o coeficiente de x^2 em pi(x) é negativo, esse ponto é de máximo.

Passo 5

Substituímos x^*=tfrac254 em pi(x), usando frações:
pil(tfrac254r) =-65l(254r)^2 +15cdot254-10 =-65cdot62516 +3754-10 =-375080+7508-808 =2958
Em decimal isso dá ,36,875.
O preço ótimo é
p^*=100-x^*5 =100-tfrac2545 =375/45 =754=18,75

Resposta

Sim. O lucro máximo é
pimax=2958approx36,875
(unidades monetárias), obtido com x^*=tfrac254 unidades a preço p^*=tfrac754approx18,75.

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