Encontre uma equação para a reta tangente à curva f(x)=x^arctg(x^2), no ponto de abscissa x=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
f(x)=x^arctgl(x^2r)
no ponto de abscissa x=1. Para isso precisamos:
  1. Calcular o ponto (1,f(1)).
  2. Encontrar f'(x) usando derivação de função na forma x^g(x).
  3. Avaliar f'(1).
  4. Montar a equação da reta y - f(1)=f'(1),(x-1).

Passo 2

Calcular f(1).
f(1)=1^arctg(1^2)=1^arctg(1)=1^pi/4=1
Logo o ponto de tangência é l(1,1r).

Passo 3

Derivar f(x)=x^arctg(x^2). Escrevemos
f(x)=expl(arctg(x^2)cdotln xr)
e definimos g(x)=arctg(x^2)ln x. Então
f'(x)=f(x),g'(x)
Agora,
g'(x)=ddxl[arctg(x^2)r]ln x+arctg(x^2)ddx[ln x]
Sabemos
ddxl[arctg(x^2)r]=2x1+x^4, ddx[ln x]=1x,
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g'(x)=2x1+x^4ln x+arctg(x^2)x
Portanto
f'(x)=x^arctg(x^2)l(2x1+x^4ln x+arctg(x^2)xr)

Passo 4

Avaliar f'(1). Já temos f(1)=1, e em x=1 vem
ln1=0, arctg(1^2)=pi4,
então
g'(1)=2cdot11+1^4cdot0+pi/41=pi4,
e
f'(1)=f(1),g'(1)=1cdotpi4=pi4

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente em (1,1) com coeficiente angular m=f'(1)=pi4:
y-1=pi4(x-1)

Resposta

y-1=pi4(x-1),
ou equivalentemente
y=pi4,x+l(1-tfracpi4r)

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