Em todas as questões apresentadas, registre seus cálculos passo-a-passo.
Verifique (passo-a-passo) se y0=e^x é solução da EDO DE RICATTI:
d yd x=-y^2+(1+2 e^x) y-e^2 x
No caso afirmativo, obtenha a solução y=y0+t^-1, considerando a equação como (d yd x=A y^2+B y+C) e t a solução da eq. linear: fracd td x+(2 A y0+B) t=-A.
Importante: (e^x)^2=e^x e^x=e^2 x.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de Riccati
d yd x=-y^2+l(1+2e^xr)y-e^2x
e pede para verificar se y0=e^x é solução particular e, em caso afirmativo, usar a transformação
y=y0+1t
para obter a solução geral, onde t satisfaz
d td x+l(2A,y0+Br)t=-A
no formato d yd x=A y^2+B y+C.

Passo 2

Vamos checar se y0=e^x satisfaz a EDO. Primeiro a derivada:
d y0d x=e^x
Agora o lado direito, usando y0:
-y0^2+l(1+2e^xr)y0-e^2x =-e^2x+(1+2e^x)e^x-e^2x =-e^2x+e^x+2e^2x-e^2x =e^x
Como ambas as expressões são e^x, concluímos que y0=e^x é solução particular.

Passo 3

Identificamos os coeficientes da forma d yd x=A y^2+B y+C:
A=-1, B=1+2e^x, C=-e^2x
A equação para t fica
d td x+l(2A,y0+Br)t=-A
Calculando 2A,y0+B:
2(-1)e^x+(1+2e^x)=-2e^x+1+2e^x=1
Logo a ODE para t é
d td x+t=1

Passo 4

Resolvendo
d td x+t=1,
o fator integrante é e^integral1,dx=e^x. Multiplicando por e^x e integrando:
dd xl(e^xtr)=e^x Longrightarrow e^xt=integral e^xdx=e^x+K,
onde K é constante de integração. Assim
t=1+K,e^-x

Passo 5

Substituindo em
y=y0+1t
obtém-se
y=e^x+11+K,e^-x

Resposta

y=e^x+11+K,e^-x,
onde K é constante arbitrária.

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