Encontre uma equação da reta tangente à curva y=2 x /(x+1)^2 no ponto (0,0).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a reta tangente à curva
y = 2x(x+1)^2
no ponto (0,0). O conteúdo usado é derivação de função para obter o coeficiente angular da tangente.

Passo 2

Para achar a derivada y', reescrevemos
y = 2x,(x+1)^-2
e aplicamos a regra do produto e da cadeia:
y' = 2,(x+1)^-2 + 2xcdot(-2),(x+1)^-3 = 2(x+1)^2 - 4x(x+1)^3 = 2(1 - x)(x+1)^3

Passo 3

A inclinação da tangente é
m = y'(0) = 2(1 - 0)(0+1)^3 = 2

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0) com (x0,y0)=(0,0) e m=2, resulta
y = 2x

Resposta

A equação da reta tangente é y = 2x.

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