Um tanque retangular com base 2 m por 3 m e 4 m de altura está cheio de água.
(a) Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água para fora do tanque.
(b) Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água para fora do tanque se o tanque estiver cheio até uma profundidade de 1 m.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque retangular de dimensões 2,mtimes3,m e altura 4,m cheio de água. Precisamos calcular o trabalho necessário para bombear toda a água até o topo do tanque. O conteúdo aqui é integração para cálculo de trabalho, usando fatias horizontais de água. Vamos usar a densidade de peso da água
gamma=rho g=1000cdot9,8=9800;N/m^3
e a área da base
A=2cdot3=6;m^2.

Passo 2

Considere uma fatia de água a uma altura y medida a partir do fundo, com espessura dy.
A área da fatia é A=6, o seu volume é dV=A,dy e o seu peso é
dF=gamma,dV=9800cdot6,dy.
Como essa fatia deve ser erguida até o topo do tanque, a distância de bombeio é (4-y).
Logo o trabalho diferencial é
dW = dFcdot(4-y) =9800cdot6,(4-y),dy

Passo 3

(a) Para o tanque cheio até y=4, integramos de 0 a 4:
W =integral0^49800cdot6,(4-y),dy =58800integral0^4(4-y),dy
Calculemos
integral0^4(4-y),dy =l[4y-tfracy^22r]0^4 =16-8=8
Portanto
W=58800cdot8=470400;J

Passo 4

(b) Se o tanque está cheio apenas até y=1, integramos de 0 a 1:
W =integral0^19800cdot6,(4-y),dy =58800integral0^1(4-y),dy
Calculando
integral0^1(4-y),dy =l[4y-tfracy^22r]0^1 =4-tfrac12=3,5
Logo
W=58800cdot3,5=205800;J

Resposta

(a) W=470400 J
(b) W=205800 J

Exercícios relacionados