Um tanque retangular com base
por
e
de altura está cheio de água.
(a) Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água para fora do tanque.
(b) Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água para fora do tanque se o tanque estiver cheio até uma profundidade de
.
(a) Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água para fora do tanque.
(b) Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água para fora do tanque se o tanque estiver cheio até uma profundidade de
Passo 1
O enunciado descreve um tanque retangular de dimensões
e altura
cheio de água. Precisamos calcular o trabalho necessário para bombear toda a água até o topo do tanque. O conteúdo aqui é integração para cálculo de trabalho, usando fatias horizontais de água. Vamos usar a densidade de peso da água
e a área da base
.
e a área da base
Passo 2
Considere uma fatia de água a uma altura
medida a partir do fundo, com espessura
.
A área da fatia é , o seu volume é
e o seu peso é
.
Como essa fatia deve ser erguida até o topo do tanque, a distância de bombeio é .
Logo o trabalho diferencial é
A área da fatia é
Como essa fatia deve ser erguida até o topo do tanque, a distância de bombeio é
Logo o trabalho diferencial é
Passo 3
(a) Para o tanque cheio até
, integramos de
a
:
Calculemos
Portanto
Passo 4
(b) Se o tanque está cheio apenas até
, integramos de
a
:
Calculando
Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)