Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
A hipérbole
A hipérbole
Passo 1
O enunciado dá a curva definida pela equação
O que nos é pedido: encontrar equações paramétricas, ou seja, encontrar funções
e
(com domínio em termos de um parâmetro
) tais que, para todo
do domínio, substituindo nas equações teremos
Informações relevantes dadas: a relação entre
e
é exatamente
. Note que
e
nunca podem ser zero simultaneamente na curva (porque
), então o parâmetro não pode produzir
nem
.
Passo 2
O que é uma parametrização?
Uma parametrização da curva é um par de funções
e
com um domínio em
tal que, ao substituir, a equação da curva seja satisfeita identicamente em
. Em outras palavras, queremos escolher
e
de modo que a igualdade
seja verdadeira para todo
no domínio.
Estratégia prática (a mais direta): isolar uma variável e escolher o parâmetro igual a essa variável. Por exemplo, isolar
dá
Se eu definir
como função do parâmetro, então
fica definida automaticamente.
Passo 3
Parametrização mais simples e direta — escolha racional:
Defina
Como queremos
, tomamos
Verificação: substituindo,
para todo
.
Domínio:
Observações didáticas:
- Essa parametrização é muito usada em provas porque é imediata, fáceis contas e cobre as duas “folhas” da hipérbole: quando
obtemos o ramo em que (primeiro quadrante) e quando obtemos o ramo onde (terceiro quadrante). - Em prova, se te pedirem “uma parametrização”, essa é a primeira que você deve escrever: simples e completa.
Passo 4
Verificação de propriedades (como tangente e suavidade) — exemplo com a parametrização
:
Derivadas:
O vetor tangente é
. Para
esse vetor não é o vetor nulo, então a curva é suave (diferenciável) para todo
do domínio. Em prova, se pedirem velocidade ou direção, é só usar essas derivadas.
Passo 5
Outras parametrizações úteis (mostro para você ter opções e escolher a que o prof pediu):
- Parametrização exponencial (cobre apenas o ramo positivo): defina
Verificação:
Essa parametrização percorre o ramo do primeiro quadrante conforme
varia.
Para obter o ramo do terceiro quadrante análogo, use
- Parametrização trigonométrica simples (usa
e ): defina
Verificação:
Essa forma é útil se o enunciado pedir algo envolvendo funções trigonométricas; cobre os dois ramos (quando
muda de sinal).
Passo 6
Comentário sobre escolha em prova e orientação:
- Se o enunciado não exigir restrições, escreva a parametrização racional
— é a mais direta e cobre toda a curva. - Se precisarem só do ramo positivo (por exemplo, restrição
), prefira com . - Sempre declare o domínio do parâmetro e, se necessário, explique qual ramo é percorrido quando
varia.