Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
A hipérbole x y=1

Passo 1

O enunciado dá a curva definida pela equação x y = 1.
O que nos é pedido: encontrar equações paramétricas, ou seja, encontrar funções \,x(t)\, e \,y(t)\, (com domínio em termos de um parâmetro t) tais que, para todo t do domínio, substituindo nas equações teremos x(t)\,y(t)=1.
Informações relevantes dadas: a relação entre x e y é exatamente \,x y=1. Note que \,x e \,y nunca podem ser zero simultaneamente na curva (porque 0\cdot y\neq1), então o parâmetro não pode produzir x=0 nem y=0.

Passo 2

O que é uma parametrização?
Uma parametrização da curva é um par de funções \,x(t)\, e \,y(t)\, com um domínio em t tal que, ao substituir, a equação da curva seja satisfeita identicamente em t. Em outras palavras, queremos escolher x(t) e y(t) de modo que a igualdade x(t)\,y(t)=1 seja verdadeira para todo t no domínio.
Estratégia prática (a mais direta): isolar uma variável e escolher o parâmetro igual a essa variável. Por exemplo, isolar y y=\frac{1}{x}. Se eu definir x como função do parâmetro, então y fica definida automaticamente.

Passo 3

Parametrização mais simples e direta — escolha racional:
Defina x(t)=t. Como queremos \,x(t)\,y(t)=1, tomamos y(t)=\frac{1}{t}.
Verificação: substituindo, x(t)\,y(t)=t\cdot\frac{1}{t}=1 para todo t\neq0.
Domínio: t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Observações didáticas:
  • Essa parametrização é muito usada em provas porque é imediata, fáceis contas e cobre as duas “folhas” da hipérbole: quando \,t>0 obtemos o ramo em que x>0,y>0 (primeiro quadrante) e quando \,t<0 obtemos o ramo onde x<0,y<0 (terceiro quadrante).
  • Em prova, se te pedirem “uma parametrização”, essa é a primeira que você deve escrever: simples e completa.

Passo 4

Verificação de propriedades (como tangente e suavidade) — exemplo com a parametrização x(t)=t,\;y(t)=1/t:
Derivadas: x'(t)=1,\qquad y'(t)=-\frac{1}{t^{2}}.
O vetor tangente é (x'(t),y'(t))=(1,-1/t^{2}). Para t\neq0 esse vetor não é o vetor nulo, então a curva é suave (diferenciável) para todo t do domínio. Em prova, se pedirem velocidade ou direção, é só usar essas derivadas.

Passo 5

Outras parametrizações úteis (mostro para você ter opções e escolher a que o prof pediu):
  1. Parametrização exponencial (cobre apenas o ramo positivo): defina x(u)=e^{u},\qquad y(u)=e^{-u},\qquad u\in\mathbb{R}.
Verificação: x(u)\,y(u)=e^{u}\,e^{-u}=1. Essa parametrização percorre o ramo do primeiro quadrante conforme u varia.
Para obter o ramo do terceiro quadrante análogo, use x(u)=-e^{u},\qquad y(u)=-e^{-u}.
  1. Parametrização trigonométrica simples (usa \operatorname{sec} e \cos): defina \theta\mapsto x(\theta)=\operatorname{sec}\theta,\qquad y(\theta)=\cos\theta,\qquad \theta\neq\frac{\pi}{2}+k\pi.
Verificação: \operatorname{sec}\theta\cdot\cos\theta=1. Essa forma é útil se o enunciado pedir algo envolvendo funções trigonométricas; cobre os dois ramos (quando \cos\theta muda de sinal).

Passo 6

Comentário sobre escolha em prova e orientação:
  • Se o enunciado não exigir restrições, escreva a parametrização racional \,x(t)=t,\;y(t)=1/t,\;t\neq0 — é a mais direta e cobre toda a curva.
  • Se precisarem só do ramo positivo (por exemplo, restrição x>0), prefira \,x=u=e^{u},\;y=e^{-u} com u\in\mathbb{R}.
  • Sempre declare o domínio do parâmetro e, se necessário, explique qual ramo é percorrido quando t varia.

Resposta

\displaystyle x(t)=t,\;y(t)=\frac{1}{t},\;t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

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