Usando o fato de que
e
, prove as relações abaixo usando as propriedades operatórias das derivadas.
Passo 1
O enunciado pede provar que
Informações dadas e definições que vamos usar:
- Sabemos que
e (essas foram fornecidas). - Definições trigonométricas úteis:
- Vamos usar propriedades operatórias das derivadas (regra do produto e consequência para o recíproco/quotient rule). Não vou assumir nada além dessas propriedades básicas.
Passo 2
Lembrando a regra do produto: para duas funções
e
,
A partir disso obtemos a derivada do recíproco
de forma simples. Considere
não nula e a identidade
Derivando ambos os lados e aplicando a regra do produto:
Isolando a derivada do recíproco:
Agora use isso para obter a regra do quociente: se
e
são funções com
, então
e aplicando a regra do produto com a expressão acima para
obtemos a formula conhecida:
Essa é a regra do quociente que vamos aplicar a
.
Passo 3
Aplique a regra do quociente com
e
. Pelas derivadas fornecidas,
Substituindo na fórmula da regra do quociente:
Passo 4
Simplifique o numerador:
Usando a identidade pitagórica trigonométrica
, o numerador vale
. Assim
E como
, temos
. Portanto chegamos à relação desejada.