Usando o fato de que \frac{d}{d x}(\operatorname{sen} x)=\cos x e \frac{d}{d x}(\cos x)=-\operatorname{sen} x, prove as relações abaixo usando as propriedades operatórias das derivadas.
\frac{d}{d x}(\tan x)=\operatorname{sec} ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede provar que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x.
Informações dadas e definições que vamos usar:
  • Sabemos que \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)=\cos x e \dfrac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)=-\operatorname{sen}x (essas foram fornecidas).
  • Definições trigonométricas úteis: \tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x},\qquad \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
  • Vamos usar propriedades operatórias das derivadas (regra do produto e consequência para o recíproco/quotient rule). Não vou assumir nada além dessas propriedades básicas.

Passo 2

Lembrando a regra do produto: para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'v+uv'.
A partir disso obtemos a derivada do recíproco 1/g(x) de forma simples. Considere g(x) não nula e a identidade
g(x)\cdot\frac{1}{g(x)}=1.
Derivando ambos os lados e aplicando a regra do produto:
g'(x)\cdot\frac{1}{g(x)}+g(x)\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{g(x)}\right)=0.
Isolando a derivada do recíproco:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{g(x)}\right)=-\frac{g'(x)}{g(x)^{2}}.
Agora use isso para obter a regra do quociente: se f(x) e g(x) são funções com g(x)\neq0, então
\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}
e aplicando a regra do produto com a expressão acima para \dfrac{d}{dx}\bigl(1/g(x)\bigr) obtemos a formula conhecida:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f' g - f g'}{g^{2}}.
Essa é a regra do quociente que vamos aplicar a \tan x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x}.

Passo 3

Aplique a regra do quociente com f(x)=\operatorname{sen}x e g(x)=\cos x. Pelas derivadas fornecidas,
f'(x)=\cos x,\qquad g'(x)=-\operatorname{sen}x.
Substituindo na fórmula da regra do quociente:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr) =\frac{f' g - f g'}{g^{2}} =\frac{\cos x\cdot\cos x - \operatorname{sen}x\cdot(-\operatorname{sen}x)}{\cos^{2}x}.

Passo 4

Simplifique o numerador:
\cos x\cdot\cos x - \operatorname{sen}x\cdot(-\operatorname{sen}x) =\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x.
Usando a identidade pitagórica trigonométrica \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1, o numerador vale 1. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\frac{1}{\cos^{2}x}.
E como \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, temos \dfrac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x. Portanto chegamos à relação desejada.

Resposta

\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x

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