Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o valor de d^2 yd x^2 nesse ponto.
x=sen(2 pi t), y=cos (2 pi t), t=-16

Passo 1

A curva é dada de forma paramétrica por x=sin(2pi t) e y=cos(2pi t). O objetivo é usar derivadas paramétricas para achar a inclinação da reta tangente e depois a segunda derivada d^2y/dx^2 no ponto correspondente a t=-1/6.

Passo 2

Primeiro encontramos as coordenadas do ponto em que queremos a reta tangente. Substituindo t=-1/6 em x e y:
x(-1/6)=sinl(2picdot(-1/6)r)=sinl(-pi/3r)=-raiz32,
y(-1/6)=cosl(2picdot(-1/6)r)=cosl(-pi/3r)=12

Passo 3

Para a inclinação da reta tangente, usamos dydx=dy/dtdx/dt. Calculando as derivadas em relação a t:
dxdt=2picos(2pi t),
dydt=-2pisin(2pi t)

Passo 4

Em t=-1/6, temos cos(-pi/3)=1/2 e sin(-pi/3)=-raiz3/2. Logo:
dxdt|t=-1/6=2picdot12=pi,
dydt|t=-1/6=-2picdotl(-raiz32r)=piraiz3

Passo 5

Portanto a inclinação da reta tangente é
dydx=piraiz3pi=raiz3

Passo 6

A equação da reta tangente no ponto (-tfracraiz32,tfrac12) com coeficiente angular m=raiz3 é:
y-12=raiz3l(x+raiz32r)

Passo 7

Para a segunda derivada, usamos a fórmula
d^2ydx^2=ddtl(dydxr)/dxdt

Passo 8

Como dydx=-tan(2pi t), temos
ddtl(dydxr)=-2pisec^2(2pi t)

Passo 9

Dividindo por dx/dt=2picos(2pi t), obtém-se
d^2ydx^2=-2pisec^2(2pi t)2picos(2pi t)=-1cos^3(2pi t)

Passo 10

Finalmente, em t=-1/6 temos cos(2pi t)=cos(-pi/3)=1/2, logo
d^2ydx^2|t=-1/6=-1(1/2)^3=-8

Resposta

A reta tangente é
y-12=raiz3l(x+raiz32r),
e a segunda derivada no ponto vale -8.

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