Mostre que o grupo S3 das permutações de 3 elementos não é comutativo e calcule todos seus elementos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo das permutações de 3 elementos, chamado S₃, não comuta e ainda listar todos os seus elementos. Vamos usar conceitos de teoria de grupos (grupos simétricos), notação de ciclos e composição de funções para isso.

Passo 2

Definimos S₃ como o conjunto de todas as bijeções de {1,2,3} sobre si mesmo, com operação dada pela composição de permutações. Em notação de ciclos, cada elemento de S₃ é uma forma de rearranjar 1,2,3, e precisamos verificar propriedades de grupo e, em particular, se a operação é comutativa.

Passo 3

Para que um grupo seja comutativo (abeliano), valeria sempre σ∘τ=τ∘σ para quaisquer σ,τ em S₃. Vamos escolher duas permutações simples: σ=(1 2) e τ=(2 3), ambas transposições.

Passo 4

Calculamos a composição passo a passo. Primeiro σ∘τ significa aplicar τ e depois σ, ou seja,
[ (1 2)∘(2 3)=(1 2 3) ]
Já τ∘σ é aplicar σ e depois τ:
[ (2 3)∘(1 2)=(1 3 2) ]
Como (1 2 3)≠(1 3 2), concluímos que σ∘τ≠τ∘σ e, portanto, S₃ não é comutativo.

Passo 5

Para listar todos os elementos de S₃, lembramos que o número de permutações de 3 objetos é 3!=6. Em notação de ciclos temos: identidade, três transposições e dois ciclos de 3 elementos.

Resposta

O grupo S3 não é comutativo (abeliano), pois por exemplo
Sua composição não é simétrica:
(1,2)circ(2,3)=(1,2,3)e(2,3)circ(1,2)=(1,3,2)neq(1,2,3)
Seus seis elementos são
id,,(1,2),,(1,3),,(2,3),,(1,2,3),,(1,3,2)

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