Mostre que o grupo
das permutações de 3 elementos não é comutativo e calcule todos seus elementos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o grupo das permutações de 3 elementos, chamado S₃, não comuta e ainda listar todos os seus elementos. Vamos usar conceitos de teoria de grupos (grupos simétricos), notação de ciclos e composição de funções para isso.
Passo 2
Definimos S₃ como o conjunto de todas as bijeções de {1,2,3} sobre si mesmo, com operação dada pela composição de permutações. Em notação de ciclos, cada elemento de S₃ é uma forma de rearranjar 1,2,3, e precisamos verificar propriedades de grupo e, em particular, se a operação é comutativa.
Passo 3
Para que um grupo seja comutativo (abeliano), valeria sempre σ∘τ=τ∘σ para quaisquer σ,τ em S₃. Vamos escolher duas permutações simples: σ=(1 2) e τ=(2 3), ambas transposições.
Passo 4
Calculamos a composição passo a passo. Primeiro σ∘τ significa aplicar τ e depois σ, ou seja,
[ (1 2)∘(2 3)=(1 2 3) ]
Já τ∘σ é aplicar σ e depois τ:
[ (2 3)∘(1 2)=(1 3 2) ]
Como (1 2 3)≠(1 3 2), concluímos que σ∘τ≠τ∘σ e, portanto, S₃ não é comutativo.
[ (1 2)∘(2 3)=(1 2 3) ]
Já τ∘σ é aplicar σ e depois τ:
[ (2 3)∘(1 2)=(1 3 2) ]
Como (1 2 3)≠(1 3 2), concluímos que σ∘τ≠τ∘σ e, portanto, S₃ não é comutativo.
Passo 5
Para listar todos os elementos de S₃, lembramos que o número de permutações de 3 objetos é 3!=6. Em notação de ciclos temos: identidade, três transposições e dois ciclos de 3 elementos.
Resposta
O grupo
não é comutativo (abeliano), pois por exemplo
Sua composição não é simétrica:
Seus seis elementos são