Mostre que o conjunto
das matrizes
invertíveis reais com a multiplicação é um grupo não comutativo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto GL(2,
) das matrizes 2×2 invertíveis com multiplicação forma um grupo não comutativo. Vamos usar a definição de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso) e depois dar um exemplo que mostra que a multiplicação não comuta.
Passo 2
Precisamos verificar o fechamento: se
e
são invertíveis, também é invertível o produto
. Sabemos que, para matrizes invertíveis,
. Como
e
existem por hipótese,
existe, logo
.
Passo 3
A multiplicação de matrizes é sempre associativa, ou seja, para quaisquer
vale
Isso decorre diretamente das definições de produto entre linhas e colunas.
Passo 4
O elemento neutro em GL(2,
) é a matriz identidade de ordem 2,
pois para toda
temos
Passo 5
Por definição, todo elemento
de
já é invertível, ou seja, existe
tal que
Isso garante a propriedade de existência de inverso.
Passo 6
Para mostrar que o grupo não é comutativo, basta dar um contraexemplo. Considere
Calculando:
Como
, a multiplicação em GL(2,
) não é comutativa.
Resposta
O conjunto GL(2, ℝ) com a multiplicação forma um grupo não comutativo.