Mostre que o conjunto GL(2, R) das matrizes 2 times 2 invertíveis reais com a multiplicação é um grupo não comutativo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto GL(2, R) das matrizes 2×2 invertíveis com multiplicação forma um grupo não comutativo. Vamos usar a definição de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso) e depois dar um exemplo que mostra que a multiplicação não comuta.

Passo 2

Precisamos verificar o fechamento: se A e B são invertíveis, também é invertível o produto AB. Sabemos que, para matrizes invertíveis, (AB)^-1 = B^-1 A^-1. Como A^-1 e B^-1 existem por hipótese, (AB)^-1 existe, logo AB in GL(2,R).

Passo 3

A multiplicação de matrizes é sempre associativa, ou seja, para quaisquer A,B,C in GL(2,R) vale
(AB)C = A(BC)
Isso decorre diretamente das definições de produto entre linhas e colunas.

Passo 4

O elemento neutro em GL(2, R) é a matriz identidade de ordem 2,
I2 = 1 & 0 0 & 1,
pois para toda A in GL(2,R) temos
I2 A = A I2 = A

Passo 5

Por definição, todo elemento A de GL(2,R) já é invertível, ou seja, existe A^-1 tal que
A A^-1 = A^-1 A = I2
Isso garante a propriedade de existência de inverso.

Passo 6

Para mostrar que o grupo não é comutativo, basta dar um contraexemplo. Considere
A = 1 & 1 0 & 1, B = 1 & 0 1 & 1
Calculando:
AB = 2 & 1 1 & 1,
BA = 1 & 1 1 & 2
Como AB neq BA, a multiplicação em GL(2, R) não é comutativa.

Resposta

O conjunto GL(2, ℝ) com a multiplicação forma um grupo não comutativo.

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